2. Сравнение нескольких средних

Этот тип задач часто возникает при проведении межлабораторных экспериментов, когда один образец анализируется в нескольких лабораториях, а затем полученные результаты анализируются и обобщаются.

Итак, есть m выборок, для каждой рассчитаны дисперсия и среднее . Для удобства будем полагать, что число значений в каждой выборке равно n - это условие не обязательно, но упрощает вычисления.

Ссылки по теме: Он-лайн программа для проверки однородности дисперсий

Сперва нужно убедиться, что дисперсии однородны с помощью критерия Кохрена (или критерия Бартлетта). Если дисперсии неоднородны, то сравнение средних проводить нельзя.

Затем вычисляется дисперсия средних:

,

где

И средняя дисперсия:

После чего эти две дисперсии сравниваются между собой по критерию Фишера (среднюю дисперсию при этом нужно поделить на n):

,

число степеней свободны дисперсии средних равно m-1, число степеней свободы средней дисперсии - m(n-1)

Если средние различаются незначимо, то различие между средней дисперсией и дисперсией средних также должно быть незначимо.

3. Разложение дисперсии на составляющие

Дисперсия характеризует случайную погрешность и, как правило, складывается из нескольких составляющих. Часто бывает важно оценить вклад каждой составляющей (или фактора) в дисперсию. Например, для оценки погрешности, вносимой на различных этапах аналитической методики.

Как правило, в любой методике можно выделить этап пробоотбора и пробоподготовки, и этап измерения:

Из образца отбирается несколько проб, которые проходят процедуру пробоподготовки (это может быть вскрытие, экстракция, химическая обработка и т.д.). Для каждой пробы проводится несколько параллельных измерений (например, отбирается несколько аликвот для титрования). В итоге получаем несколько выборок значений, которые обрабатываются по той же схеме, что и при сравнение нескольких средних - вычисляется дисперсия средних и средняя дисперсия.

Средняя дисперсия характеризует второй этап, измерение. А дисперсия средних включает погрешность обоих этапов. Поэтому если дисперсия средних значимо больше средней дисперсии - это означает, что I этап, пробоотбор и пробоподготовка, вносят значимую погрешность в результат анализа и их методика нуждается в усовершенствовании.

(назад)

Лекция 12.

Корреляционный анализ. Коэффициент корреляции

Корреляционный анализ - метод, позволяющий обнаружить зависимость между несколькими случайными величинами.

Допустим, проводится независимое измерение различных параметров у одного типа объектов.

Из этих данных можно получить качественно новую информацию - о взаимосвязи этих параметров.

Например, измеряем рост и вес человека, каждое измерение представлено точкой в двумерном пространстве:

Несмотря на то, что величины носят случайный характер, в общем наблюдается некоторая зависимость - величины коррелируют.

В данном случае это положительная корреляция (при увеличении одного параметра второй тоже увеличивается). Возможны также такие случаи:

Отрицательная корреляция:

Отсутствие корреляции:

Взаимосвязь между переменными необходимо охарактеризовать численно, чтобы, например, различать такие случаи:

Для этого вводится коэффициент корреляции. Он рассчитывается следующим образом:

Есть массив из n точек {x_1,i, _x2,i}

Рассчитываются средние значения для каждого параметра:

И коэффициент корреляции:

r изменяется в пределах от -1 до 1. В данном случае это линейный коэффициент корреляции, он показывает линейную взаимосвязь между x₁ и x₂: r равен 1 (или -1), если связь линейна.

Коэффициент r является случайной величиной, поскольку вычисляется из случайных величин. Для него можно выдвигать и проверять следующие гипотезы: