Математическое планирование экспериментов в экологии

Содержание

Введение 4

Лекция 1.

Постановка задачи. 6

Лекция 2.

Основные метрологические характеристики. 8

Лекция 3.

Доверительныйц интервал и оценка случайной погрешности. 10

Лекция 4.

Оценка систематической погрешности. Способы количественной

оценки правильности (систематической погрешности). 11

Лекция 5.

Способы проверки и повышения правильности. 13

Лекция 6.

Основные характеристики чувствительности. 14

Лекция 7.

Проверка статистической гипотезы. 16

Лекция 8.

Нормальное распределение. 17

Лекция 9.

Проверка выполнения нормального закона распределения 19

Лекция 10.

Основы дисперсионного анализа. 21

Лекция 11.

Применение дисперсионного анализа в системном анализе. 23

Лекция 12.

Корреляционный анализ. Коэффициент корреляции 25

Лекция 13.

Методы классификации и идентификации. Распознавание образов. 29

Лекция 14.

Регрессионный анализ. Градуировка. 31

Лекция 15.

Погрешность градуировки. 33

Лекция 16.

Основы математического планирования эксперимента. 35

Литература 41

Введение

Планирование эксперимента, раздел математической статистики, изучающий рациональную организацию измерений, подверженных случайным ошибкам. Обычно рассматривается следующая схема Планирование эксперимента Со случайными ошибками измеряется функция f (q, x), зависящая от неизвестных параметров (вектора q) и от переменных x, которые по выбору экспериментатора могут принимать значения из некоторого допустимого множества X. Целью эксперимента является обычно либо оценка всех или некоторых параметров q или их функций, либо проверка некоторых гипотез о параметрах q. Исходя из цели эксперимента, формулируется критерий оптимальности плана эксперимента. Под планом эксперимента понимается совокупность значений, задаваемых переменным х в эксперименте. Как правило, оценки параметров q ищут по наименьших квадратов методу, а гипотезы о параметрах q проверяют с помощью F-критерия Фишера (см. Дисперсионный анализ) ввиду оптимальных свойств этих методов. В обоих случаях при этом оказывается естественным выбирать в качестве критерия оптимальности плана с заданным числом экспериментов некоторую функцию от дисперсий и коэффициентов корреляции оценок методом наименьших квадратов. Отметим, что в случае, когда f (q, x) линейно зависит от q, оптимальный план часто можно построить до проведения эксперимента, в других случаях уточнение плана эксперимента происходит по ходу эксперимента.   Для иллюстрации рассмотрим определение весов q₁, q₂, q₃ трёх грузов на весах с двумя чашками, если результат m-го эксперимента есть разность веса содержимого второй и первой чашки плюс случайная ошибка å_т со средним 0 и дисперсией s², т. е.   , если i-й груз был на k_im-й чашке в m-м эксперименте, и x_iт = 0, если i-й груз не взвешивался в m-м эксперименте. Взвесив каждый груз отдельно п раз (3n экспериментов), мы оценим его вес по методу наименьших квадратов величиной   с дисперсией s²/n. При n = 8 той же точности мы достигнем после взвешивания по одному разу всех 8 различных комбинаций грузов, в которых каждый из них лежит либо на одной, либо на другой чашке, причём оценка по методу наименьших квадратов даётся формулой   i = 1, 2, 3.

  Начало Планированию эксперимента положили труды английского статистика Р. Фишера (1935), подчеркнувшего, что рациональное Планирование эксперимента даёт не менее существенный выигрыш в точности оценок, чем оптимальная обработка результатов измерений. Можно выделить следующие направления Планирование эксперимента   Исторически первое из них, факторное, было связано с агробиологическими применениями дисперсионного анализа, что нашло отражение в сохранившейся терминологии. Здесь функция f (q, х) зависит от вектора х переменных (факторов) с конечным числом возможных значений и характеризует сравнительный эффект значений каждого фактора и комбинаций разных факторов. Алгебраическими и комбинаторными методами были построены интуитивно привлекательные планы, одновременно и сбалансированным образом изучающие влияние по возможности большого числа факторов. Впоследствии было доказано, что построенные планы оптимизируют некоторые естественные характеристики оценок метода наименьших квадратов.   Следующим под влиянием приложений в химии и технике развивалось Планирование эксперимента по поиску оптимальных условий протекания того или иного процесса. По существу эти методы являются модификацией обычных численных методов поиска экстремума с учётом случайных ошибок измерений.   Специфическими методами обладает планирование отсеивающих экспериментов, в которых нужно выделить те компоненты вектора х, которые сильнее всего влияют на функцию f (s, x), что важно на начальной стадии исследования, когда вектор х имеет большую размерность.   В 60-х гг. 20 в. сложилась современная теория Планирование эксперимента Её методы тесно связаны с теорией приближения функций и математическим программированием. Построены оптимальные планы и исследованы их свойства для широкого класса моделей. Разработаны также итерационные алгоритмы Планирование эксперимента, дающие во многих случаях удовлетворительное численное решение задачи Планирование эксперимента (назад)