- •Структура залікового кредиту курсу
- •Змістовий модуль і. Лінійні моделі множинної регресії
- •Тема 1. Основи економетричного моделювання. План (логіка)викладу і засвоєння матеріалу
- •Предмет і метод курсу.
- •Місце курсу серед дисциплін фундаментальної підготовки бакалаврів з економічних спеціальностей.
- •Задачі економетричного дослідження.
- •Особливості економетричних моделей та історія розвитку економетричних досліджень.
- •Тема 2. Загальна лінійна економетрична модель. Методи побудови та дослідження план (логіка)викладу і засвоєння матеріалу
- •2.1. Постановка та основні означення парної лінійної регресії. Метод найменших квадратів. Система оцінки параметрів економетричної моделі з двома змінними.
- •2.2. Дисперсійний та кореляційний аналіз побудованої моделі.
- •2.3. Постановка загальної лінійної моделі.
- •2.4. Передумови застосування методу найменших квадратів (1мнк).
- •Властивості оцінок параметрів.
- •1) Незміщеності; 3) ефективності;
- •2) Обґрунтованості; 4) інваріантності.
- •2.6. Перевірка моделі на якість і точність.Прогноз.
- •Дисперсійний аналіз
- •Тема 3. Поняття та методи дослідження мультіколінеарності. Гетероскедастичність, методи визначення та наслідки. План (логіка)викладу і засвоєння матеріалу
- •3.1. Поняття мультіколінеарності. Методи визначення її.
- •Методи дослідження мультіколінеарності (метод феррара-глобера).
- •Поняття гетероскедастичності. Методи її визначення.
- •Перевірка гетероскедастичності на основі критерію
- •Параметричний тест Гольдфельда—Квандта
- •Тема 4. Нелінійні моделі та часові ряди план (логіка)викладу і засвоєння матеріалу
- •4.1.Методи оцінювання параметрів моделі нелінійного виду.
- •4.2.Виробнича функція : аналіз рішення.
- •4.4. Поняття тренду. Методи дослідження динамічних рядів
- •Похідні від функцій апроксимації
- •Тема 5. Побудова економетричної моделі з автокорельованими залишками. План (логіка)викладу і засвоєння матеріалу
- •5.1.Поняття і причини виникнення автокореляції.
- •5.2.Критерій дарбіна-уотсона.
- •5.3.Критерій неймана. Критерій фон Неймана
- •5.4.Оцінка параметрів моделі з автокорельованими залишками. Метод ейткена
- •Тема 6. Моделі розподіленого лагу. Методи інструментальних змінних план (логіка)викладу і засвоєння матеріалу
- •6.1.Поняття лагу і лагових змінних.
- •Моделі розподіленого лагу (дистрибутивно – лагові моделі);
- •Авторегресійні моделі.
- •6.2.Лаги незалежних змінних лаги залежної змінної.
- •6.3.Методи оцінювання.
- •6.4.Метод ейткена. Ітеративний метод.
- •Метод Ейткена
- •6.5.Метод інструментальних змінних.
- •6.7.Оператор оцінювання вальда.
- •Тема 7. Непрямий метод найменших квадратів. Проблеми ідентифікації план (логіка)викладу і засвоєння матеріалу
- •Система одночасних структурних рівнянь. Проблеми ідентифікації
- •7.2. Рекурсивні системи
- •7.3. Непрямий метод найменших квадратів (нмнк)
- •7.4. Двокроковий метод найменших квадратів (2мнк)
- •7.5. Трикроковий метод найменших квадратів (змнк)
7.2. Рекурсивні системи
Означення. Якщо в економетричній моделі (7.2) матриця А має трикутний вид, а залишки характеризуються діагональною матрицею , то така система рівнянь називається рекурсивною.
Нехай економетрична модель на основі одночасових структурних рівнянь запишеться так:
(7.15)
матриця коваріацій залишків для неї
(7.16)
Як відомо, труднощі оцінки системи рівнянь виникають тоді, коли спостерігається кореляція між залишками і залежними змінними. Тому нам потрібно переконатись в тому, що спеціальні властивості рекурсивної моделі дають змогу подолати ці труднощі.
Запишемо структурні рівняння в матричному вигляді
(7.17)
Зведена форма їх запишеться так:
(7.18)
де (7.19)
Помножимо (7.17) ліворуч на і перейдемо в обох частинах здобутої рівності до границі за ймовірністю:
Оскільки згідно з припущенням , то справджується рівність:
Запишемо ліву частину рівності, скориставшись(16.19):
(7.20)
Коли економетрична модель має три структурні рівняння і три залежні змінні, то (7.20) можна записати так:
(7.21)
де
а через Аkj позначено алгебраїчне доповнення елемента akj.
Таким чином, ми одержали основний результат, який полягає в тому, що u2 не корелює гранично з Y1, u3 не корелює гранично з Y1 і Y2. А це означає, що для оцінки параметрів системи (7.13) можна застосувати 1МНК. У численних публікаціях Волда показано, що реальні економічні системи найчастіше описуються рекурсивними системами рівнянь. Цей висновок він аргументує тим, що реальне формування кожного з показників, які входять до моделі, є неодночасним. Наприклад, залежність ціни від пропозиції товару на ринку. Якщо часовий період дорівнює одному дню, то ціна на товар в t-й день встановлюється у врахуванням продажу в t-1 день, тоді як попит на товар залежить від ціни, за якою продавався товар в цей самий день. Запишемо ці рівняння:
(7.22)
Наведена модель є рекурсивною, бо рt. і gt — поточні значення залежних ендогенних змінних, a gt-1 — розглядається як екзогенна змінна, яка бере участь у послідовності причинних зв'язків.
Ця послідовність містить тільки прямі зв'язки, що дозволяє нам вважати залишки незалежними.
У рекурсивних системах матриця коефіцієнтів при залежних змінних трикутна. Наприклад, у системі рівнянь (7.22) коефіцієнти при змінних рt. і gt, утворюють таку матрицю:
Оскільки залишки в рівняннях нормально розподілені, то для оцінювання параметрів моделі можна використати 1 МНК.
7.3. Непрямий метод найменших квадратів (нмнк)
Повернемось до моделі (7.5), яка має два структурні рівняння. В попередньому параграфі було показано, що між залежною змінною Yt і залишками ut існує кореляція. Застосування 1МНК для оцінки параметрів цієї моделі дає зміщення. Тому необхідно розглянути альтернативні методи оцінки параметрів, які дозволили б уникнути зміщення. Один з таких методів є непрямий метод найменших квадратів. Він складається з двох процедур. Спочатку застосовується 1МНК для оцінки параметрів кожного рівняння зведеної форми моделі (7.7) — (7.8). Основна особливість такої форми полягає в тому, що її здобуто в результаті розв'язування структурної системи рівнянь відносно поточних значень ендогенних змінних, і зведена форма виражає їх як функції всіх інших змінних моделі таким чином, що кожне рівняння в такій формі має поточне значення тільки однієї ендогенної змінної.
Припущення (7.6) дозволяють безпосередньо застосувати 1МНК для оцінювання коефіцієнтів рівнянь зведеної форми, тобто рівнянь (7.7) і (7.8). Звідси:
- найкраща незміщена оцінка параметра (7.23)
- найкраща незміщена оцінка параметра (7. 24)
- найкраща незміщена оцінка параметра першого рівняння; (7.25)
- найкраща незміщена оцінка параметра другого рівняння. (7.26)
З (7.23) знайдемо значення параметра для першого рівняння структурної форми:
Оскільки або де малими буквами позначені відхилення від середніх, то справджується рівність:
Звідси:
(7.27)
Це значення параметра також можна було одержати на основі (7.24).
Отже, обидва рівняння приводять до ідентичної оцінки параметра a1. Інші два рівняння (7.25) і (7.26) дадуть нам одну й ту саму оцінку параметра a0.
(7.28)
Хоч оцінки (7.27) і (7.28) є незміщеними оцінками параметрів зведеної форми, вони не будуть незміщеними оцінками параметра a0 і a1 структурної форми (7.5). Але вони будуть обґрунтованими.
Алгоритм непрямого методу найменших квадратів
Крок 1. Перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння структурної форми моделі. Якщо кожне рівняння точно ідентифіковане, то переходимо до кроку 2.
Крок 2. Кожне рівняння структурної форми розв'язується відносно однієї з k залежних ендогенних змінних моделі, у результаті приходимо до зведеної форми моделі.
Крок 3. На основі 1МНК визначається оцінка параметрів окремо для кожного рівняння зведеної форми.
Крок 4. Розраховується оцінка параметрів рівнянь структурної форми за допомогою співвідношення AR = -В, де А і В параметри структурних рівнянь, a R — матриця оцінок параметрів зведеної форми.