![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Линейная алгебра. Линейное пространство.
- •Линейная зависимость. База. Размерность.
- •Изоморфизм.
- •Координаты.
- •Подпространства.
- •Ранг матрицы.
- •Общая теория линейных систем.
- •Однородное линейное уравнение.
- •Линейные преобразования.
- •Ранг и дефект линейного преобразования.
- •Действия с линейными преобразованиями.
- •Собственные векторы.
- •Инвариантные подпространства.
- •Многочленные матрицы.
- •Элементарные делители.
- •Нормальная форма Жордана.
- •Унитарные и Евклидовы пространства.
- •Ортогональные суммы.
- •Ортогональное дополнение.
Элементарные делители.
Введение:
!
– квадратная
-матрица
порядка
.
– инвариантные множители матрицы
.
!, далее,
–непостоянный
инвариантный множитель. Разложим его
следующим образом:
на
произведение различных неприводимых
над полем
унитарных
многочленов.
Опр.:
Многочлены
–элементарные
делители инвариантного множителя
.
Говорят, что элементарный делитель
принадлежит
многочлену
.
Опр.: Элементарными делителями матрицы называется набор элементарных делителей её непостоянных инвариантных множителей.
Теорема: Порядок, ранг и элементарные делители квадратной -матрицы однозначно определяют инвариантные множители .
Доказательство
усматривается из примера: !
–квадратная
матрица порядка 6,
и элементарные делители
.
Имеет 6 инвариантных делителей множителей:
,
т.к.
,
то
.
Поскольку
делят
,
то
.
Оставшиеся элементарные делители:
,
т.к.
делят
,
то
.
Остаётся 1 элементарный делитель
.
Теорема (об элементарных делителях диагональной -матрицы): ! – диагональная -матрица. Тогда система элементарных делителей совпадает с объединением элементарных делителей её непостоянных диагональных элементов.
Теорема (об элементарных делителях клеточно-диагональной матрицы): Если –клеточно-диагональная матрица, то система её элементарных делителей есть объединение её элементарных делителей.
Теорема (критерий подобия матриц): Матрицы и подобны их характеристические матрицы эквивалентны.
Доказательство:
!
,
т.е.
.
Тогда
,
а значит
(матричный
признак эквивалентности).
Нормальная форма Жордана.
Лемма:
!
– клетка Жордана порядка
.
Тогда
имеет
1 элементарный делитель
.
Доказательство:
.
Мы имеем
,
т.к.
– это унитарный многочлен, то
.
Заметим, что 1 из миноров матрицы
порядка
равен
1 (он получает вычеркиванием 1-го столбца
и последней строки)
.
Теорема
Жордана: !
- квадратная матрица с коэффициентами
из поля
и
разлагается
в поле
на
линейные множители. Тогда матрица
подобна
жордановой матрице
.
При этом матрица
единственна
с точностью до порядка расположения
клеток Жордана.
Замечание: Если – алгебраически замкнутое поле, например, поле , то матрица с коэффициентами из подобна жордановой матрице.
Доказательство:
!
– квадратная матрица порядка
.
– характеристическая матрица для
.
полный
набор элементарных делителей
-матрицы.
.
Заметим, что
,
т.к. произведение многочленов
совпадает с многочленом
степени
.
Построим матрицу
порядка
следующим образом
,
где
–клетка
Жордана порядка
,
у которой на диагонали стоит
.
В силу леммы и по теореме об элементарных
делителях клеточно диагональной
–матрицы
система
является и полным набором элементарных
делителей матрицы
и
имеет
одинаковый набор инвариантных множителей,
а значит, они эквивалентны (критерий
эквивалентности в терминах инвариантных
множителей). Итак,
.
Теперь по критерию подобия
подобна
.
Единственность: !
,
где
– жордановы матрицы. Отсюда выводим
,
т.е.
и
подобны.
По критерию подобия
и
эквивалентны.
Поэтому эти матрицы имею одинаковый
набор инвариантных делителей. Теперь,
в силу леммы и теоремы об элементарных
делителях клеточно-диагональной
матрицы, получаем, что
и
состоят
из одних и тех же клеток Жордана.
Теорема (критерий диагонализируемости матрицы над полем): Квадратная матрица подобна диагональной матрице все элементарные делители матрицы имеют 1-ю степень.
Доказательство:
! элементарные делители
имеют
1-ю степень, т.е. в системе
(см. доказательство теоремы Жордана):
.
Поэтому матрица
диагональная.
!
подобна
диагональной матрице
матрице
– полный набор элементарных делителей
матрицы
.
Но
эквивалентна
(критерий подобия), а, значит,
имеет
тот же набор элементарных делителей.