![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Линейная алгебра. Линейное пространство.
- •Линейная зависимость. База. Размерность.
- •Изоморфизм.
- •Координаты.
- •Подпространства.
- •Ранг матрицы.
- •Общая теория линейных систем.
- •Однородное линейное уравнение.
- •Линейные преобразования.
- •Ранг и дефект линейного преобразования.
- •Действия с линейными преобразованиями.
- •Собственные векторы.
- •Инвариантные подпространства.
- •Многочленные матрицы.
- •Элементарные делители.
- •Нормальная форма Жордана.
- •Унитарные и Евклидовы пространства.
- •Ортогональные суммы.
- •Ортогональное дополнение.
Общая теория линейных систем.
Рассмотрим
произвольную систему линейных уравнений
,
где
,
–матрица
системы
,
- расширенная матрица системы
.
Теорема
(Кронекера-Капелли): Система
совместна (имеет хотя бы одно решение)
.
Доказательство:
!
совместна
и
–
решения этой системы. Тогда ввиду
последний
столбец матрицы
есть
линейная комбинация столбцов матрицы
.
Если
–
линейная оболочка столбцов
- линейная оболочка столбцов
,
(всегда
),
то тогда
.
!
последний столбец матрицы
есть
линейная комбинация столбцов
.
Если
– коэффициент этой линейной комбинации,
то
–
решение системы
,
а значит и системы
.
Однородное линейное уравнение.
Опр.:
Система линейных уравнений вида
называется однородной, если последний
столбец нулевой. Такая система всегда
совместима, т.к. имеет решение
Решение
будем записывать в виде
.
Лемма: Если – множество всех решений системы , то – подпространство пространства .
Доказательство:
Очевидно,
.
Если
,
.
Далее,
–подпространство.
Опр.: база называется фундаментальной системой решений системы .
Опр.:
Рангом системы
называется ранг матрицы
,
где
.
Теорема
(об однородных линейных уравнениях):
.
Доказательство:
Если
,
то в силу предыдущего пункта система
имеет единственное решение, нулевое.
!
.
Будем считать, что первые
строк
матрицы
линейно
независимы. Тогда
равносильна системе
.
Будем предполагать, для определенности
,
т.е.
– свободные неизвестные. Полагаем
.
Получим решение
.
Аналогично, полагая
получим
решение
.
Очевидно, эти решения линейно независимы
и каждое решение
есть
линейная комбинация этих векторов
– база
,
т.е.
.
Суммы и пересечения подпространств.
Лемма
1: Если
– подпространства из
,
то
–подпространство.
Доказательство:
т.к.
,
то
,
т.е.
.
1)
;
2)
.
Лемма:
– подпространство пространства
.
Доказательство:
Очевидно,
.
1)
;
2) Аналогично,
.
Теорема
(о размерности суммы двух подпространств):
!
– подпространства пространства
.
Тогда
Доказательство:
!
и
– база
.
По теореме о дополняемости линейно
независимой системы векторов, до базы
найдутся такие векторы
,
что
–база
.
– база
.
Тогда
.
Докажем, что
–
база
.
Тогда
.
Пусть
.
По определению
.
Поскольку
– множество наибольших векторов базы
,
– линейная комбинация векторов
,
т.е.
– система образующих пространства
.
Предположим, что
– линейно зависима
один
из векторов
есть
линейная комбинация предыдущих. Это
некоторый вектор
(поскольку
первые
векторов
есть
база
).
Итак,
.
Отсюда
(2) –линейно зависимая система. Это
противоречие. Поэтому
– система линейно независимая, а значит
является базой
.
Опр.:
!
– некоторое подпространство пространства
.
Сумма
этих
подпространств называется прямой, если
каждый вектор
однозначно
записывается в виде
.
Замечание: В определении прямой суммы достаточно потребовать однозначность разложения нулевого вектора. Отсюда вытекает однозначность разложения любого вектора.
Теорема
1: Сумма
будет
прямой
.
Доказательство:
!
.
Предположим, что
и
.
Тогда
.
Это противоречит определению прямой
суммы.
.
!
.
В силу замечания надо доказать
.
Действительно, или
,
то
.
Поэтому
.
Теорема
2: Сумма
будет
прямой
.
Доказательство:
!
.
Покажем, что
- линейно независимые. Действительно,
!
– линейно независимые векторы
.
Итак,
– линейно независимы
база
(
).
!
– база
.
Теорема
(о
прямого
дополнения): !
–подпространство
пространства
.
Тогда
такое
подпространство
,
что
(
– прямое дополнение к
).
Доказательство:
!
– база
.
По теореме о дополняемости линейно
независимой системы векторов до базы,
найдутся такие вектора
– база
.
Если
– линейная оболочка векторов
,
то эти векторы есть база
.