Изоморфизм.
Опр.:
!
– линейные пространства над полем
.
Тогда эти пространства называются
изоморфными, если
такие
взаимно-однозначные отображения
и
при этом 1)
;
2)
.
называется
изоморфизмом
на
.
Если
,
то
называется
автоморфизмом пространства
.
Лемма
1: !
– нулевой элемент
,
–нулевой
элемент
,
–изоморфизм
на
.
.
Доказательство:
.
Лемма
2: Если
–система
образующих пространства, то
–
линейно независимы.
Доказательство:
! напротив
–линейно
зависимы. Тогда
,
где хотя бы одно
и
при этом
.
По условию
.
Но тогда
и
– это противоречие взаимной однозначности
отображения
.
Теорема:
Линейные пространства
изоморфны
.
Доказательство:
!
изоморфны,
–изоморфизм.
Если
– база
,
то в силу лемм 1, 2
–база
.
Отсюда
.
!
.
– база
,
– база
.
!
.
Тогда вектор
однозначно
по замечанию записывается в виде
.
Полагаем, что
.
Очевидно,
однозначно
отображает
на
.
Далее, если
и
,
то
,
.
!
,
тогда
и
.
Координаты.
Опр.:
!
– линейное пространство над полем
,
.
Координатной системой (базой) пространства
называется
база
,
элементы которой рассматриваются в
определенном фиксированном порядке.
элемент
однозначно
записывается в виде
.
Элементы
называют
координатами вектора
в
базе
.
–
координатная строка вектора
в
.
Опр.:
! задана ещё одна координатная база
пространства
.
Мы имеем
.
Матрица
называется
матрицей перехода от координат системы
к
.
Теорема
(правило преобразования координат):
!
–координатные
строки вектора
в
базах
и
соответственно. Тогда
.
Доказательство:
Мы имеем
,
.
В силу равенства 3 получим, что
.
Приравняем координаты, получим, что
.
Это равенства равносильны доказательству.
Лемма:
!
квадратные
матрицы порядка
с
элементами из поля
.
Если
для
строк
с коэффициентами из
,
то
.
Доказательство:
!
.
Полагаем, что
,
получим
,
т.е. матрицы
имеют
одинаковые первые строки. Аналогично
полагая,что
получим,
что
и
имеют
одинаковые вторые строки и т.д.
Теорема:
Матрица перехода
от
координатной системы
к
координатной системе
невырожденная, т.е. имеет образную
матрицу
.
При этом
есть
матрица перехода от
к
.
Доказательство:
Правило преобразования координат даёт
нам
.
!
– матрица перехода от координатной
системы
к координатной системе
.
Снова по правилу преобразования
координат мы имеем, что
,
где
координаты
произвольного вектора
.
– координаты
в
.
Поэтому
.
В силу леммы
– единичная матрица
,
т.е.
,
значит
.
Подпространства.
Опр.:
Непустое подмножество
из
называется
подпространством пространства
,
если 1)
;
2)
.
т.к.
,
то
и
– подгруппа
,
т.е.
.
Если
.
Аналогично проверяются все другие
аксиомы линейного пространства. т.о.
–является
линейным пространством над полем
.
– тривиальные подпространства
пространства
.
Опр.:
!
– произвольные векторы пространства
.
Рассмотрим множество
.
Очевидно,
– подпространство пространства
.
Это называется линейной оболочкой
векторов
.
Заметим, что если
линейно независимые, то
–база
.
В общем случае
– система образующих пространства
и
равно
максимальному числу линейно независимых
векторов этой системы.