- •Часть 1
- •Глава 1. Кинематика.
- •§1. Механическое движение. Система отсчета.
- •§2. Радиус вектор, перемещение, траектория, путь.
- •§3.Ускорение. Нормальное и тангенциальное
- •§3А. Вывод формул для тангенциального и нормального ускорений.
- •§4. Вращательное движение. Угловая скорость. Угловое
- •Глава 2. Динамика
- •§5. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы
- •§6 Масса. Второй закон Ньютона. Импульс.
- •§7. Второй закон Ньютона для системы материальных
- •§8. Момент силы и момент импульса относительно точки
- •§9. Момент импульса и момент инерции тела
- •Глава 3. Работа. Энергия
- •§ 10. Работа. Работа при вращательном движении. Мощ-
- •§ 12. Поле сил. Консервативные силы. Потенциальная
- •§ 13 Связь между консервативной силой
- •§14. Работа неконсервативных сил и механическая
- •Глава 4. Законы сохранения в механике
- •§15. Закон сохранения импульса. Закон сохранения
- •§ 16. Условие равновесия механической системы. По-
- •Глава 5. Колебания. Волны
- •§ 17. Колебания. Дифференциальное уравнение
- •§ 18. Скорость и ускорение при гармонических
- •§ 19. Сложение одинаково направленных колебаний
- •§ 20. Маятники. Пружинный, физический,
- •§ 21. Затухающие колебания.
- •§ 22. Вынужденные колебания
- •§ 23. Волны. Волны поперечные и продольные. Волновая
- •§ 24. Принцип относительности Галилея
- •§ 25. Постулаты Эйнштейна.
- •§ 26. Основные понятия релятивистской динамики
§ 22. Вынужденные колебания
Рассмотрим колебания, когда на систему, кроме квазиупругой
силы и силы трения, действует и вынуждающая сила, меняющаяся по
гармоническому закону с частотой W:
F = F0 cosW×t , (22.1)
где F0 - амплитуда вынуждающей силы. В этом случае установившиеся
колебания будут иметь частоту, равную частоте вынуждающей
силы:
x=Acos(Wt+a)
Расчет показывает, что амплитуда А и начальная фаза a определяются
соотношениями:
F0/m
(22.2)
(ω0 - Ω2 )+ 4β2Ω2
2βΩ
(22.3)
Ω2 - ω0
63
Из уравнения (22.2) следует: амплитуда вынужденных колебаний прямо
пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и зависит от частоты
этой силы W. На рис.
(22.1) показана эта зави-
симость для различных
значений b. Видно, что
при некоторой частоте Wр
амплитуда вынужденных
колебаний имеет макси-
мум. Это явление называ-
ется резонанс, а частота
Wр - резонансной часто-
той. Так как при Wр
А(W) имеет максимум, то
в этой точке производная
= 0
Ωр = ω0 - 2β2 . (22.4)
Чем больше b, тем меньше Wр. При небольших b Wр»w0, т.е. резонанс
наступает тогда, когда частота вынуждающей силы близка к собственной
частоте.
Подставив (22.4) в (22.2), найдем амплитуду при резонансе Ap:
F0/m
4β4 + 4β2(ω0 - 2β2 )
F0/m
(22.5)
2β ω0 - β2
64
§ 23. Волны. Волны поперечные и продольные. Волновая
поверхность, фронт волны. Уравнение плоской волны,
длина волны, волновое число. Фазовая скорость
Если в среде возбудить колебания частиц, то вследствие взаимо-
действия между частицами, эти колебания будут передаваться от частице
к частице. Процесс распространения колебаний в пространстве называет-
ся волной.
Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекают-
ся волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания
около положения равновесия. Волна называется поперечной, если коле-
бания частиц перпендикулярны направлению распространения волны. В
продольной волне - частицы колеблются вдоль направления распростра-
нения волны. В жидкостях и газах возникают только продольные волны, в
твердых телах и продольные и поперечные.
Рис.23.1
На рис. 23.1 показан процесс распространения поперечных коле-
баний вдоль цепочки частиц, вызванный колебанием первой из этих ча-
стиц (источник волны - первая частица). За время T/4 первая частица из
положения равновесия сместиться на расстояние, равное амплитуде коле-
баний. К концу этого промежутка времени в колебания вовлекутся все
частицы, до той, которая обозначена номером 2 на рис. 23.1.а. Таким об-
разом, частица 2 начнет колебания, через время T/4 после начала колеба-
ний первой частицы. Через время T/2 первая частица вернется в положе-
65
ние равновесия. Для второй частицы время от начала ее колебаний соста-
вит T/4 и, следовательно, она будет в положении максимального отклоне-
ния. При этом в колебания вовлекутся все частицы, до той, которая обо-
значена номером 3 на рис. 23.1.б. Частица 3 начнет совершать колебания
через время T/2 после начала колебаний 1 частицы. Рассматривая процесс
дальше, увидим, что через время t = T колебания дойдут до частицы с
номером 5.
На рис. 23.1 показано распространение колебаний вдоль оси х. В
действительности в колебания вовлекаются частицы расположенные в
некотором объеме. Геометрическое место точек, до которых доходят ко-
лебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометри-
ческое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волно-
вой поверхностью. Очевидно, что отклонения точек волновой поверхно-
сти от положения равновесия одинаковое, т.к. фаза колебаний этих точек
одна и та же. Волновых поверхностей можно выделить сколь угодно мно-
го. По форме волновой поверхности различают плоские волны (волновая
поверхность - плоскость), сферические волны (волновая поверхность -
сфера) и т.п.
Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное
периоду колебаний частиц, называется длиной волны. Так за время
волна проходит расстояние равное длине волны , то скорость волны u
равна:
u=l/T=ln . (23.1)
Уравнением волны называется выражение, которое дает возмож-
ность рассчитать смещение колеблющейся частицы как функцию ее коор-
динат и времени.
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся
вдоль оси y (рис. 23.2). На рис. 23.2 плоскость 1,
расположенная в начале координат, является ис-
точником волны. Т.к. волна плоская, то отклонение
x всех точек источника от положения равновесия
для некоторого момента времени одинаковое:
x=Acos(wt+a)
Плоскость 2 - некоторая волновая поверхность -
отклонение точек этой поверхности от положения
равновесия равны друг другу. Следовательно, для этой поверхности x
зависит только от y и t (т.е. x(y,t)). Найдем эту зависимость. Из объяс-
нений к рис. 23.1 следует, что точки волновой поверхности (плоскость 2)
колеблются с той же частотой, что и точки источника, но начинают коле-
бания на некоторое время t позже. Если t - это время колебаний точек
66
источника, то время колебаний точек волновой поверхности равно t-t. Из
сказанного и уравнения (23.2) получим:
x(y,t) = Acos[ω(t - τ) + α]
Возвращаясь к рисункам (23.1) и (23.2), можно найти t :
τ =
Следовательно: x(y,t) = Acosω(t - )+ α (23.3)
Это есть уравнение плоской волны распространяющаяся вдоль оси y, (ес-
ли волна распространяется в сторону противоположную y , то в уравне-
нии (23.2) надо y заменить на -y).
Преобразуем уравнение (23.3):
ω 2π 2π
u Tu λ
Эту величину называют волновым числом k
2π ω
(23.4)
Часто удобно рассматривать волновой вектор k - это вектор, направлен-
ный по нормали к волновой поверхности в сторону распространения вол-
ны и числено равный 2p/l.Подставим (23.4) в (23.3):
x=Acos(wt-ky+a) (23.3.а)
Отклонение от положения равновесия х(y,t) функции двух пе-
ременных. Поэтому удобно строить график этой функции либо для фик-
сированного некоторого значения y0 (x(y0,t)), либо для фиксированного
некоторого значения t0 (x(y,t0)),. В первом случае это будет график ко-
лебаний (см. § 17) для частицы с координатами у0. Во втором случае по-
лучим график, показывающий отклонение частиц от положения равнове-
сия в некоторый момент времени t0, (рис. 23.3) - график волны.
Рассмотрим некоторую волновую поверхность. Фаза колебаний
частиц этой поверхности равна:
j0= wt-ky+a (23.5)
Видно, что данное значение фазы с изменением времени t будет оста-
ваться неизменным (j0=const), если увеличивается y. Т.е. волновая по-
верхность, частицы которой имеют фазу j0, должна двигаться вдоль оси
y (подобно движению “круга” на воде от брошенного камня). Скорость
X
l
A
A
движения волновой поверхности называется фазовой скоростью uф. Для
того что бы найти uф продифференцируем уравнение (23.5):
0 = ω × dt - kdy ⇒ =
Т.к. u = ,
ω
то (23.6)
k
Для рассматриваемого случая монохроматической волны, скорость волны
и фазовая скорость совпадают (уравнения (23.4) и (23.6)).
68
Глав 6. Принцип относительности Галилея.
Элементы специальной теории относительности