Задание 2. Расчет стальной балки на прочность и жесткость

Для изображенной схемы стальной балки требуется:

1. Провести полный кинематический анализ заданной расчетной схемы.

2. Определить опорные реакции для заданной расчетной схемы.

3. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

4. Подобрать поперечное сечение балки (см. табл. 2) из условия прочности, считая материал линейно упругим.

5. Определить прогиб и угол поворота сечения K балки и построить схему деформирования заданной расчетной схемы.

6. Проверить рациональность заданного поперечного сечения балки по прочности и жесткости по сравнению с сечением в виде:

квадрата — для гр. 321341 ;

круга — для гр. 321342 ;

прямоугольника с соотношением сторон — для гр. 321541 .

Необходимые для расчета данные указаны в табл. 1.

Таблица 1

№ варианта	Номер схемы (рис. 1-3)	Сечение (табл. 2)	q, кН/м	а, м	№ варианта	Номер схемы (рис. 1-3)	Сечение (табл. 2)	q, кН/м	а, м
1	1	1	20	0,5	16	16	16	4	0,8
2	2	2	16	0,8	17	17	17	24	0,5
3	3	3	8	1,0	18	18	18	4	0,8
4	4	4	15	1,2	19	19	19	20	1,2
5	5	5	5	1,4	20	20	20	5	1,2
6	6	6	6	0,5	21	21	21	10	1,2
7	7	7	15	0,9	22	22	22	15	1,5
8	8	8	3	1,4	23	23	23	12	1,6
9	9	9	40	1,0	24	24	24	7	0,8
10	10	10	8	1,8	25	25	25	11	1,1
11	11	11	16	1,6	26	26	26	10	0,9
12	12	12	5	1,5	27	27	27	8	1,6
13	13	13	15	1,4	28	28	28	5	1,4
14	14	14	14	1,2	29	29	29	7	1,4
15	15	15	3	0,5	30	30	30	14	1,2
модуль упругости стали: МПа
расчетное сопротивление стали по пределу текучести: МПа

Таблица 2

Поперечные сечения балки

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Пример выполнения задания. Дано: расчетная схема балки (рис. 4); кН/м; м. Материал балки – сталь: МПа; МПа.

Требуется из условия прочности подобрать поперечное сечение балки из двух швеллеров, сваренных в коробку (рис. 5); построить схему деформирования заданной расчетной схемы, определив прогиб и угол поворота сечения K; проверить рациональность заданного поперечного сечения балки по прочности и жесткости по сравнению с сечением в виде квадрата, поставленного на ребро.

Рис. 4

Рис. 5

Решение

1. Проведение кинематического анализа заданной расчетной схемы

1.1. Количественный кинематический анализ.

Для проведения полного кинематического анализа необходимо заменить опорные связи их шарнирно-стержневым аналогом и обозначить эти сечения (см. рис. 6).

Рис. 6

Определим степень статической неопределимости заданной расчетной схемы (ЗРС) по формуле:

,

• число жестких дисков (стержней) системы: ;

• число простых шарниров, объединяющих жесткие диски системы: ;

• число опорных стержней: ( , ).

Имеем, ЗРС статически определима.

1.2. Качественный кинематический анализ.

Проведем анализ ЗРС на геометрическую неизменяемость, которая обеспечивается наличием шарнирно-стержневого треугольника (ШСТ), образованного опорными связями, наложенными на диск (рис. 7).

Рис. 7

Таким образом, ЗРС геометрически неизменяема.

2. Определение опорных реакций для заданной расчетной схемы

На рис. 8 введем систему координат, оси которой определяют правило знаков для опорных реакций, заданных своими обозначениями, при этом неизвестные реакции считаются положительно направленными.

Рис. 8

Назначим уравнения равновесия для определения опорных реакций, причем для исключения взаимовлияния получаемых результатов выберем такие уравнения, из которых однозначно определялась бы каждая из исследуемых реакций и, не учитывалось влияние двух других, а именно:

;

;

.

Найдем опорные реакции, решив приведенные выше уравнения:

;

;

.

Знак “–“ рядом с найденным числовым значением опорной реакции указывает на то, что направление данной реакции надо изменить на противоположное.

Рис. 9

Таким образом, реакции опорных связей определены, что позволяет указать на расчетной схеме все нагрузки в явном виде («в значениях»), см. рис. 9. Данные этого рисунка используются для проведения контроля правильности определения реакций опорных связей по ранее незадействованному уравнению

Контроль: .