6. Проверка рациональности заданного поперечного сечения балки по прочности и жесткости

Величина момента инерции сечения влияет на жесткость балки при изгибе, а величина момента сопротивления – на прочность. Наряду с условиями прочности и жесткости балки должно удовлетворяться и условие ее экономичности, т. е. она должна быть легкой, дешевой и без излишнего расхода материала. Поэтому при выборе той или иной формы поперечного сечения балки при расчете не жесткость пользуются так называемым удельным моментом инерции, а при расчете на прочность – удельным моментом сопротивления.

Удельным моментом инерции называется отношение вида:

где – момент инерции сечения относительно нейтральной оси Z;

– площадь поперечного сечения.

Из двух геометрических форм поперечного сечения балки следует признать ту форму более выгодной для придания балки большей жесткости, удельный момент инерции которой больше.

Удельным моментом сопротивления называется отношение вида:

где – момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси Z.

Из двух геометрических форм поперечного сечения балки следует признать ту форму более выгодной для придания балки большей прочности, удельный момент сопротивления которой больше.

Вычислим удельный момент инерции, который характеризует рациональное сечение на жесткость, и удельный момент сопротивления, который характеризует рациональное сечение на прочность, относительно нейтральной оси Z для заданного сечения балки из двух швеллеров № 12, сваренных в коробку (рис. 5):

где см².

В качестве сравнения рассмотрим сечение в виде квадрата со стороной c, поставленного на ребро (рис. 31), для которого площадь, момент инерции и момент сопротивления относительно центральной оси Z соответственно будут равны:

; ; .

В свою очередь, удельный момент инерции и удельный момент сопротивления составят:

; .

Рис. 31

Сравнивая удельные коэффициенты для квадрата, поставленного на ребро, с удельными коэффициентами, полученными для заданного сечения из двух швеллеров № 12, сваренных в коробку, убеждаемся, что заданная форма поперечного сечения для расчета на прочность ( ) и жесткость ( ) более выгодна при затрате одного и того же количества материала.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Общее представление эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Эпюра изгибающих моментов	Эпюра поперечных сил
1. На участке балки отсутствует распределенная нагрузка : а) чистый изгиб
прямая, параллельная оси	имеет нулевое значение

б) плоский изгиб
наклонная прямая	прямая, параллельная оси



2. На участке балки действует распределенная нагрузка :
парабола (кривая второго порядка)	наклонная прямая