Решение:

1. Рассмотрим:

1) A₁(λx)=(7λx₁+6λx₂–λx₃+3λx₄, 5λx₁–4λx₂+λx₃–2λx₄, 3λx₁+2λx₂, λx₁) = (λ(7x₁+6x₂–x₃+3x₄), λ(5x₁–4x₂+x₃–2x₄), λ(3x₁+2x₂), λx₁) = λA₁(x)

2) A₁(x+y)=(7(x₁+y₁)+6(x₂+y₂)–(x₃+y₃)+3(x₄+y₄), 5(x₁+y₁)–

–4(x₂+y₂)+ (x₃+y₃)–2(x₄+y₄), 3(x₁+y₁)+2(x₂+y₂), (x₁+y₁)) = (7x₁+6x₂–

–x₃+3x₄, 5x₁–4x₂+x₃–2x₄, 3x₁+2x₂, x₁)+ (7y₁+6y₂–y₃+3y₄, 5y₁–4y₂+y₃–

–2y₄, 3y₁+2y₂, y₁)= A₁(x)+A₁(y)

Итак, A₁(λx)=λA₁(x) и A₁(x+y)= A₁(x)+A₁(y), значит оператор A₁ – линейный.

3) Найдем матрицу оператора в каноническом базисе R³ :

, , , .

Значит,

– матрица данного линейного оператора

4) Найдем ранг оператора, т.е. размерность его образа T_A. По определению тогда и только тогда, когда найдется вектор такой, что или, в координатной записи:

Это означает, что образ T_A совпадает с линейной оболочкой системы столбцов матрицы А₁. Следовательно, ранг оператора А₁ совпадает с рангом его матрицы, т.е. равен 3. Тогда дефект оператора А₁: .

2. Рассмотрим

A₂(λx)=(5λx₁+4λx₂–λx₃, –2λx₂+3λx₃, 3λx₁+2λx₂+2λx₃–1)

λA₂(x)=(5λx₁+4λx₂–λx₃, –2λx₂+3λx₃, 3λx₁+2λx₂+2λx₃–λ) A₂(λx)

Следовательно, A₂ не является линейным оператором.

Задача 6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей:

РЕШЕНИЕ:

1. Найдем определитель:

2. Решим уравнение:

или

3. Итак, имеем собственные значения линейного оператора: ,

4. Найдем собственные векторы, отвечающие:

а) .

Пусть x₁ и x₂ – базисные переменные, x₃=с – свободная. Тогда

x₁=с, x₂=с.

Имеем собственный вектор линейного оператора, отвечающий собственному значению : .

б) .

Пусть x₁ и x₂ – базисные переменные, x₃=с – свободная. Тогда

x₂=0, x₁= – x₂+с=с

Имеем собственный вектор линейного оператора, отвечающий собственному значению : .

в) .

Пусть x₁ и x₂ – базисные переменные, x₃=с – свободная. Тогда

Имеем собственный вектор линейного оператора, отвечающий собственному значению : .

III. Квадратичные формы, квадрики. Элементы дифференциальной геометрии.

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение квадрики, установить вид квадрики. Написать формулы перехода к новой системе координат, найти координаты новых координатных векторов и нового начала относительно старой системы координат в двумерном аффинном пространстве А₂:

x₁² + 4x₁x₂ + 4x₂² – 4x₁ – 4x₂ – 12 = 0.

Решение:

Рассмотрим матрицу квадратичной формы:

.

1) Найдем собственные значения:

и

Определим, собственные векторы для:

а)

Имеем собственный нормированный вектор: .

б)

Имеем собственный нормированный вектор: .

2) Матрица перехода от ортонормированного базиса к имеет вид:

Получаем формулы преобразования координат:

(*)

Подставляем в форму:

Подставляем в (*):

Итак, имеем формулы перехода к новой системе координат:

;

3) Имеем:

Тогда, .

Т. к. матрица B – ортогональная, то .

Поэтому

.

Значит, новое начало координат находится в точке .

Ответ: ; ; .

Часть третья Аналитическая геометрия.

Задача 1. Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через точку пересечения его сторон x+y–1=0 и y+1=0, если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке Р(-1;0).

РЕШЕНИЕ:

1) Найдем точку А – точку пересечения сторон x +y–1=0 и y+1=0

x + y – 1= 0,

y + 1 = 0.

y = -1,

x = 2.

Значит, А имеет координаты (2;-1).

Имеем уравнение прямой АС:

x – 2	=	y + 1
-3		1

АС: x +3y +1 = 0

2) Найдем координаты точки С:

|PC|=|AP|=√(x+1)² + y²

|AP|=√(-1-2)²+(0+1)² = √10

( x+1)² + y² = 10

x +3y +1 = 0

x = -3y –1

(-3y–1+1)² + y² = 10

x = -3y –1

y² = 1

y = -1, x = -3y – 1 = 2.	или	y = 1, x = -4.
Это координаты точки А		Точка С имеет координаты (-4; 1)

3) ВС||AD, поэтому уравнение прямой ВС: (x+4) +(y-1) = 0

x+y+3=0

4) Найдем координаты точки В, как точки пересечения прямых АВ и ВС:

x + y +3 = 0

y + 1= 0

y = -1

x = -3–y = -2

Точка В имеет координаты (-2;-1).

5) Имеем уравнение прямой BD, проходящей через точки В(-2;-1) и Р(-1;0):

x + 2	=	y + 1
1		1

Ответ: x – y +1 = 0

Задача 2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти длины медианы, высоты, биссектрисы, проведенных из вершины А. Вычислить внутренний угол при вершине В.

А (7;1), В(-5; –4); С(-9;-1).