I. Линейная алгебра.

Задача 1. Даны матрицы А и В:

,

1. Найти матрицу А^-1, обратную для матрицы А:

а) с помощью элементарных преобразований

б) с помощью алгебраических дополнений

2. Решить матричное уравнение АХ=В

РЕШЕНИЕ:

1. а)

Проверка:

Обратная матрица была найдена верно.

б)

2.

Ответ:

Задача 2. Найти значение многочлена f(x)=2x²–x+1 от матрицы А.

РЕШЕНИЕ:

1)

2)

3)

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение над полем комплексных чисел

x² - (4-6i)x + (10-20i) = 0

РЕШЕНИЕ:

1)

2) , где k=0; 1.

3) Пусть , где . Тогда

Таким образом, при k=0 . Тогда

Если k=1, то и

Ответ: ,

Задача 4. Решить систему уравнений над полем комплексных чисел:

2x + (1+i)y = 1-i,

ix - 3y = 2i.

РЕШЕНИЕ:

Ответ: (1, i)

Задача 5. Найти все значения корней и изобразить их на плоскости.

РЕШЕНИЕ:

Тогда , где k=0, 1, 2, 3, 4.

Если k=0, то

Если k=1, то

Если k=2, то

Если k=3, то

Если k=4, то

Задача 6. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и решить ее. Найти общее и два любых частных решений.

x 1	+	x2	+	x3	+	x4	+	x5	=	5,
2x1	+	3x2	+	x3	+	x4	–	3x5	=	4,
x1			+	2x3	+	2x4	+	6x5	=	11,
x1	+	2x2					–	4x5	=	-1

Решение:

1) Найдем ранг матрицы системы:

Rg(A)=2.

2) Найдем ранг расширенной матрицы:

Rg( )=2.

3) Rg(A) = Rg( ), значит, система совместна, и в ней лишь два уравнения являются линейно независимыми. Запишем укороченную систему:

x 1	+	x2	+	x3	+	x4	+	x5	=	5
x1			+	2x3	+	2x4	+	6x5	=	11

Пусть x₁ и x₂ – базисные переменные, а x₃ = с₁, x₄ = с₂, и x₅ = с₃ – свободные. Тогда

x1	+	x2	=	5	–	с1	–	с2	–	с3,
		x2	=	11	–	2с1	–	2с2	–	6с3.

Имеем общее решение:

Пусть с₁=0, с₂=0, с₃=0, то

Пусть с₁=1, с₂=1, с₃=1, то

Ответ: , ,

Задача 7. Найти общее и какую-либо фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений.

x 1	+	x2	+	x3	+	x4	+	x5	=	0,
-3x1	+	2x2	+	x3	+	x4	+	3x5	=	0,
6x1	+	x2	+	2x3	+	2x4	+		=	0,
-x1	+	4x2	+	3x3	+	3x4	+	5x5	=	0.

Решение:

Найдем ранг матрицы системы:

Ранг матрицы равен трем, следовательно, три из четырех уравнений системы являются линейно независимыми. Запишем укороченную систему:

-3x1	+	2x2	+	x3	+	x4	+	3x5	=	0,
6x1	+	x2	+	2x3	+	2x4	+		=	0,
-x1	+	4x2	+	3x3	+	3x4	+	5x5	=	0.

Пусть x₁, x₂ и x₃ – базисные переменные, тогда x₄ = с₁, и x₅ = с₂ – свободные. Имеем:

- 3x1	+	2x2	+	x3	=	с1	-	3с2
6x1	+	x2	+	2x3	=	–2с1
-x1	+	4x2	+	3x3	=	–3с1	–	5с2

Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса:

Имеем:

Итак, общее решение:

или

, где и .

Ответ: ,