- •Бродський ю.Б., Малютіна в.П.
- •«Економіко – математичне моделювання»
- •Частина 1. Методологія та інструментарій моделювання
- •1. Системний підхід. Основні принципи та аспекти.
- •1.1. Економічна система.
- •Елементи системології і кібернетика
- •1.3. Етапи і компоненти системного аналізу.
- •2. Технологія моделювання.
- •2.1. Моделювання як метод описування систем
- •2.2. Способи моделювання та види моделей
- •Методи перевірки адекватності моделі
- •3. Задача математичного програмування (мп)
- •3.1 Формальна постановка задачі
- •3.2. Види та структурні моделі загальної задачі мп
- •Структурні моделі основних задач мп
- •3.3. Приклад розгорнутої моделі задачі лп
- •3.4. Графоаналітичний метод
- •4. Сиплекс-метод розв’язування задач лінійного програмування
- •4.1. Загальна характеристика симплекс-методу
- •4.2. Методика побудови симплекс-таблиці
- •4.3. Методика отримання опорного плану та його покращення.
- •5. Двоїста задача лінійного програмування. Аналіз результатів в табличному процесорі Excel
- •5.1. Поняття про двоїсту задачу лінійного програмування.
- •Зміст коефіцієнтів та величин моделі
- •5.2. Алгоритм розв’язування задачі оптимізації в Excel
- •Методика введення умов задачі
- •Пошук рішення. Корегування початкових даних моделі
- •5.3. Аналіз оптимального рішення задачі
- •6. Задача лінійного програмування транспортного типу
- •6.1. Постановка задачі
- •6.2. Математична модель транспортної задачі
- •6.3. Методика розв’язання задачі методом потенціалів
- •7. Статистичні методи та моделі аналізу результатів досліду
- •7.1. Методи апроксимації функцій в задачах дослідження процесів і систем
- •7.2. Критерії узгодженості апроксимуючої функції з даними експерименту
- •7.2. Лінійна регресія за допомогою функцій, лінійного тренду та пакета аналізу
- •8. Методи прогнозування.
- •9.2. Класична транспортна задача. Особливості транспортної задачі
- •Позначення:
- •9.3. Постановка задачі по плануванню перевезення різних вантажів одним видом транспорту. 3ведення її до класичної задачі
- •Постановка задачі по плануванню перевезення різних вантажів різними видами транспорту
- •9.4. Коротка характеристика задач, що зводяться до транспортних.
- •10. Загальна лінійна оптимізаційна модель Канторовича (Основна задача виробничого планування)
- •Побудова структурної моделі
- •Для побудови моделі введемо позначення:
- •У відповідності з прийнятими позначеннями модель має вид:
- •11. Оптимізаційна модель мгб з обмеженнями на загальні не відтворювані ресурси Постановка завдання
- •Побудова моделі
- •Визначення і розшивка „вузьких місць”
- •12. Модель Леонтьєва
- •Відкрита модель Леонтьева
- •13. Динамічні моделі збалансованого зростання Моделі леонтьевского типу
- •Модель фон Неймана
- •Застосування моделі Неймана
- •Модель Леонтьева-фон Неймана
- •Динамічна модель Канторовича
- •14. Абстрактна модель оптимального планування виробництва Цільова функція суспільного добробуту
- •Абстрактна модель оптимального планування виробництва
- •15. Моделювання сфери споживання
- •15.1.Функція корисності. Загальні властивості функції корисності
- •15.2. Порівняння і взаємозамінність споживчих благ
- •15.3. Функція купівельного попиту
- •16. Моделювання розміщення і спеціалізації сільськогосподарського виробництва Розміщення і спеціалізація сільського господарства як частина комплексної проблеми розміщення виробництва
- •Підходи до вирішення проблеми розміщення і спеціалізації сільського господарства та економічні параметри задачі
- •Постановка задачі. Вибір критерію оптимальності і визначення складу змінних величин
- •Структурна економіко-математична модель задачі
- •Формування вихідної інформації. Схема матриці задачі
- •Може бути використана і гіперболічна функція іншого типу:
- •18. Застосування генетико - математичних методів у тваринництві
- •Графічне зображення варіаційних рядів
- •19. Індексація тварин та оцінка генетичного прогресу в популяції
7. Статистичні методи та моделі аналізу результатів досліду
7.1. Методи апроксимації функцій в задачах дослідження процесів і систем
У дослідженні процесів і систем набули широкого використання математичні моделі, які містять різні функціональні залежності. Наприклад, цільові функції в задачах оптимізації; виробничі функції для розрахунків нормативних коефіцієнтів; функції регресії виду , які виражають співвідношення “вхід–вихід” будь-якої системи ( – вектор вхідних факторів; – вектор параметрів моделі, що належить визначенню за експериментальними даними; – вектор відгуків – вихідні фактори). Регресивна модель будується для вивчення (дослідження) невідомих процесів у системах та оцінювання кількісних характеристик міжелементних зв’язків системи, наприклад: у = а0 + а1х (рис. 1).
|
Рис. 1 |
Коефіцієнти характеризують процеси (поведінку) системи і визначаються за експериментальними даними: та .
Щоб математичні моделі адекватно описували процеси і системи, необхідно використовувати досить адекватні функціональні залежності (математичні формули).
Таким чином, важливого значення набувають методи апроксимації – методи наближеного зображення реальних функцій такими стандартними аналітичними виразами, як, наприклад, алгебраїчні або тригонометричні багаточлени. Такі функції називають апроксимуючими.
У дослідженні процесів, систем початкові дані про апроксимуючу функцію наводяться у вигляді дискретного ряду результатів вимірювань (експериментів) або проведених обчислень на ЕОМ.
У задачах апроксимації такими початковими даними є сукупність експериментальних або розрахованих (обчислених) значень функції у різних точках . Інакше, початковою інформацією про функцію є вектор результатів вимірювань на сітці .
Розв’язок кожної задачі апроксимації складається:
з підбору деякої множини допустимих апроксимуючих функцій;
з вибору найбільш узгодженої з початковими даними функції з цієї множини.
Найбільш розповсюджений клас апроксимуючих функцій становлять узагальнені багаточлени.
Узагальненими багаточленами в базисі, складеному з функцій , називають багаточлен виду
|
(2.1) |
де – числові коефіцієнти.
Зокрема,
1) базис 1, породжує алгебраїчні багаточлени
|
(2.2) |
2) базис, який складається з комплексних гармонік дає тригонометричні багаточлени
|
(2.3) |
З алгебраїчними багаточленами пов’язані ще два важливі класи функцій, які використовують при апроксимації:
3) дрібнораціональні функції
|
(2.4) |
4) сплайни (кусково-поліноміальні функції) – поліноми невисокого степеня, як правило третього (кубічного сплайну).
Важлива позитивна якість апроксимуючих багаточленів виду (2.1) – це їх лінійність відносно невідомих коефіцієнтів , які треба знайти для побудови апроксимації, що дуже зручно і дозволяє будувати досить ефективні алгоритми найкращого приближення за допомогою таких функцій.
Вибір системи базисних функцій на практиці визначається: різними додатковими умовами (наприклад, необхідність досягти більшої швидкодії при обчисленні на ЕОМ); або аналітичними особливостями функції , яку необхідно апроксимувати (наприклад, якщо – періодична, то можливо, тригонометричному базису слід надати перевагу).