2. Задание №4

Указания по выполнению задания

Для выполнения задания необходимо изучить следующие разделы курса:

а) позиционные и метрические задачи на поверхности;

б) развёртки поверхностей;

в) построение на развёртке линии, заданной на поверхности.

Задание выполняется в двух проекциях на листе формата А3(297 х 420)

На чертеже сохраняются все построения для опорных точек линии пересечении и для нескольких промежуточных точек.

В построениях раскрыть способ решения задачи на примере одной-двух точек линии пересечения путём введения соответствующих обозначений.

Для каждой заданной поверхности необходимо на проекциях построить линии очертания и соответствующие линии видимости.

Очертания тех отсеков каждой из поверхностей, которые находятся внутри другой поверхности, изображать штриховой линией (см. образец выполнения задания).

Размеры на чертеже не проставлять.

При построении развёртки надо иметь в виду следующее:

а) развёртка строится в натуральную величину;

1. б) рекомендуется разбивать поверхность на 12 долей;

в) перенося кривую линию с поверхности на её развёртку, необходимо указывать построения всех характерных и нескольких промежуточных точек кривой на развёртке (для контроля построений);

г) элементы поверхности, на которые она делится для построения развёртки, и соответствующие элементы её развёртки должны быть одинаково пронумерованы.

Теоретические сведения

Построение линии пересечения поверхностей. Для построения линии пересечения простейших поверхностей используют вспомогательные секущие поверхности, которые называются посредниками. В качестве посредников используют плоскости и сферы.

Построение линии пересечения поверхностей начинают с определения её опорных точек, к которым относятся экстремальные точки и точки видимости.

К экстремальным точкам относятся самая верхняя и самая нижняя точки, самая правая и самая левая точки линии пересечения поверхностей. Графически экстремальные точки могут быть построены точно, если данные поверхности имеют общую плоскость симметрии. В противном случае их строят приближённо.

Точки видимости отделяют видимую части линии пересечения от невидимой. В этих точках проекция линии пересечения касается очерковых линии пересекающихся поверхностей.

Для построения линии пересечения поверхностей применяют три способа:

1. Способ плоскостей уровня применяют в том случае, если в сечении поверхностей получаются графически простые линии (прямые или окружности).

2. Способ концентрических сфер применяют для двух поверхностей вращения, имеющих общую плоскость симметрии, которая должна быть плоскостью уровня. Оси двух поверхностей пересекаются.

3. Способ эксцентрических сфер применяют для поверхностей вращения и циклических поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии, которая должна быть плоскостью уровня.

Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения со сферой (рис.55).

Решение: Обе поверхности в качестве горизонталей содержат семейства окружностей, поэтому в качестве посредников выбираем горизонтальные плоскости уровня ₁, ₂. Экстремальные точки А и В линии пересечения определяют, проводя общую плоскость симметрии , данных поверхностей.

Точками видимости на П₂ будут эти же точки, так как они принадлежат очерковым линиям поверхностей конуса и сферы на П₂.

Точки видимости на П₁ – С, С₁ определяют, проводя посредник ₁, проходящий через центр сферы. В этом случае плоскость ₁ пересекает сферу по окружности d (экватору), проекция d₁ которой на П₁ будет очерковой, а конус по окружности q (проекция на П₁ – q₁). d  q = С, С_1.

Случайные точки 1 и 2 линии пересечения определяют проведением горизонтальной плоскости уровня ₂:

  Сф = d₁ (проекция на П₁ – d₁₁);   К = q₁ (проекция на П₁ –q₁₁); d₁  q₁ = 1, 2.

Пример2.Построить линию пересечения двух поверхностей вращения.( рис. 56).

Решение: Для построения линии пересечения поверхностей используем метод концентрических сфер. В данном случае оси двух поверхностей вращения пересекаются, так как обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, которая является плоскостью уровня. Тогда сфера с центром в точке пересечения осей пересекает обе поверхности по окружностям. Так как плоскость симметрии является плоскостью уровня, то окружности проецируются на эту плоскость проекций в виде отрезков. Точки пересечения этих окружностей являются точками линии пересечения поверхностей. Изменяя радиус секущей сферы, можно получить достаточное число точек линии пересечения.

Экстремальные точки А и В (наивысшая и наинизшая) линии пересечения определяют, проводя общую плоскость симметрии , данных поверхностей.

Пределы изменения радиусов вспомогательных сфер определяются от R_max до R_min. Радиус наибольшей сферы R_max равен расстоянию от центра сферы до наиболее удалённой точки пересечения очерков поверхностей. Радиус наименьшей сферы R_min равен радиусу той сферы, которая является большей из двух вписанных в эти поверхности.

Сфера произвольного радиуса пересекает каждую из поверхностей по

окружностям а и â, которые проецируются на П₂ в виде хорд, перпендикулярных проекциям осей. Эти окружности пересекаются на П₂ в точках, принадлежащих линии пересечения. Горизонтальная проекция линии пересечения построена из условия принадлежности одной из поверхностей. Видимость линии пересечения определяется на П₂ по точкам А и В. Так как поверхности имеют общую плоскость симметрии, линия на П₂ будет видимой. Видимость линии пересечения на П₁ определяется точками С и С₁, которые лежат на очерковых образующих (С₁ и С₁₁).

Пример 3.Построить линию пересечения поверхностей конуса и цилиндрической поверхности второго порядка (рис.57).

Решение: 1) Для построения линии пересечения поверхностей используем метод эксцентрических сфер. Определяем экстремальные точки линии пересечения А и В (А₂ , В₂) – точки пересечения очерковых образующих поверхностей.

2) Проводим вспомогательную плоскость (₂), которая рассекает цилиндрическую поверхность второго порядка по окружности а (а₂). Эта окружность на П₂ проецируются в отрезок.

3) Из центра окружности D(D₂) проводим к плоскости этой окружности перпендикуляр до пересечения с осью конуса j(j₂). Получаем точку О(О₂).

4) Из точки О(О₂) как из центра радиусом R1 проводим сферу, которая пересекает поверхность конуса по окружности â  â₂).

5) Окружности â  â₂) и а (а₂) пересекаются в точках 1 и 2 ( 1₂, 2₂).

6) Повторяя пп. 2-5, строим ряд точек линии пересечения.

Горизонтальную проекцию линии пересечения строим из условия принадлежности цилиндрической поверхности. Затем определяем видимость линии пересечения. На П₂ видимость линии пересечения определяется точками А и В (А₂ , В₂), на П₁ точками С и С₁ (С₁, С₁₁), для нахождения которых используем горизонтальную плоскость уровня

 (₂).

Развёртка поверхностей. Развёрткой поверхностей называется плоская фигура, полученная совмещением данной поверхности путём её изгибания с плоскостью без разрывов и складок.

Развёртки бывают трёх типов: точные, приближённые, условные.

Точные развёртки строятся для многогранников. Построение развёртки поверхности многогранников сводится к определению натуральных величин их граней.

Приближенные развёртки строятся для развертывающихся поверхностей (конических, цилиндрических, торсовых).

Построение таких развёрток выполняется в два этапа:

1. Данная поверхность аппроксимируется многогранной поверхностью.

2. Строится точная развёртка многогранной поверхности, которая принимается за приближенную развёртку данной развёртывающейся поверхности.

Условные развёртки строятся для неразвертывающихся поверхностей.

Алгоритм построения таких развёрток:

1. Поверхность «разрезается» на несколько примерно равных частей (отсеков).

2. Эти части заменяются отсеками развёртывающихся поверхностей.

3. По описанному выше алгоритму строятся приближенные развёртки отсеков развертывающихся поверхностей, которые принимаются за условную развёртку данной поверхности.

Пример 4. Построить развёртку конической поверхности и нанести линию пересечения, получающуюся при пересечении конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью  (рис. 58).

Решение: Фигура сечения, получающаяся при пересечении конуса фронтально-проецирующей плоскостью , представляет собой эллипс, большая ось которого равна А₂В₂, а малая ось равна С₁D₁, для нахождения которой используем вспомогательную горизонтальную плоскость уровня (₂), провёдённую через середину А₂В₂.

Боковая поверхность развёртывается в круговой сектор. Угол сектора подсчитывается по формуле  = r / L * 360⁰, где r – радиус окружности основания конуса, а L – образующая конуса.

При нанесении линии пересечения длины отрезков образующих определяются путём поворота образующих до положения, параллельного пл. П₂. Это построение показано для точек Е и F. Таким образом 1А=1₂А₂ , 7В=7₂В₂, для точек Е и F аналогично.

Пример 5. Построить развёртку цилиндрической поверхности и нанести линию пересечения, получающуюся при пересечении цилиндрической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью  (рис. 59).

Решение: Фигура сечения, получающаяся при пересечении прямого кругового цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью , представляет собой эллипс, малая ось которого равна диаметру цилиндра – 4₁10₁, большая ось – С₂К₂.

При развёртывании цилиндрическая поверхность как бы заменяется

вписанной или описанной призматической, рёбра которой соответствуют образующим цилиндрической поверхности.

Цилиндрическую поверхность разбиваем на 12 частей, развёрнутую окружность основания цилиндра также разбиваем на 12 частей. Величина А₂В₂ = АВ. При нанесении линии пересечения (развёрнутый эллипс) высоты точек определяем на П₂, т.е. 1С=1₂С₂, 12D=12₂D₂ и т.д.

Пример 6. Построить развёртку сферической поверхности (рис.60).

Решение: Сферическая поверхность не является развертываемой, здесь можно говорить только об условном развертывании.

1. Поверхность «разрезают» плоскостями, проходящими через ось сферы LL₁ на 12 равных частей.

2. Дуги окружности на пл. П₁ между делениями заменяют прямыми., касательными к окружности.

3. Каждую часть сферической поверхности заменяют цилиндрической поверхностью вращения с осью, проходящей через центр сферы параллельно касательной к окружности большого круга (радиус цилиндрической поверхности равен радиусу сферической).

4. Делят дугу L₂1₂ на равные части, в данном случае на 6 частей.

5. Принимая точки 1₂, 2₂ и т.д. за фронтальные проекции отрезков образующих цилиндрической поверхности, строят их горизонтальные проекции А₁В₁ и т.д.

6. На прямой, проходящей через точки А и В, откладывают АВ=А₁В₁ и через середину отрезка АВ проводят к нему перпендикуляр.

7. На этом перпендикуляре откладывают отрезки 12, 23 и т.д., равные дугам 1₂2₂, 2₂3₃ и т.д. Длины дуг будут равны 2Пr / 24.

8. Через полученные точки проводят прямые параллельные АВ и откладывают на них отрезки равные С₁D₁=СD, E₁F₁=EF и т.д.

9. Через полученные точки по лекалу проводят кривые.

В результате получается приближенная развёртка одного лепестка сферической поверхности.

Варианты задания

Варианты задания с 1-50 приведены на рис. 61-73.

1-2. Построить линию пересечения поверхностей гиперболического параболоида  (m,n,) и конуса вращения К(I, l). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности конуса вращения с нанесением линии пересечения.

3-4. Построить линию пересечения поверхностей конуса вращения К(j,l) и поверхности вращения с криволинейной образующей I(i,к). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить

развертку поверхности вращения с криволинейной образующей с нанесением линии пересечения.

5-6. Построить линию пересечения поверхностей наклонного кругового конуса К(i,m) и поверхности вращения с криволинейной образующей (j,l). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности вращения с криволинейной образующей с нанесением линии пересечения.

7-8. Построить линию пересечения поверхностей сферы Сф(О,R) и коноида I(m,n,). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности сферы с нанесением линии пересечения.

9-10. Построить линию пересечения поверхностей сферы Сф(О,R) и прямого геликоида I(i,l,Н). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности сферы с нанесением линии пересечения.

Примечание: очерк поверхности прямого геликоида на П₁ построить по точкам.

11-12. Построить линию пересечения поверхностей конуса вращения К(i,k) и цилиндра вращения Ц(j,l). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности конуса вращения с нанесением линии пересечения.

13-14. Построить линию пересечения поверхностей конуса вращения К(j,k) и прямого геликоида I(i,l,Н). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности конуса вращения с нанесением линии пересечения.

15-16. Построить линию пересечения поверхностей цилиндра вращения Ц(j,к) и поверхности вращения с криволинейной образующей (i,l). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности цилиндра вращения с нанесением линии пересечения.

17-18. Построить линию пересечения поверхностей эллиптического цилиндра Ц(i,m) и поверхности вращения с криволинейной образующей (j,l). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности эллиптического цилиндра с нанесением линии пересечения.

19-20. Построить линию пересечения поверхностей вращения с криволинейной образующей (i,k) и прямого геликоида I(j,l,Н). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности вращения с криволинейной образующей с нанесением линии пересечения.

21-22. Построить линию пересечения поверхностей вращения с криволинейной образующей (i,l) и наклонного конуса К(j,m). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности наклонного конуса с нанесением линии пересечения.

23-24. Построить линию пересечения поверхностей конуса вращения К(j,l) и тора (i, m). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности конуса вращения с нанесением линии пересечения.

25-26. Построить линию пересечения поверхностей гиперболического параболоида I(m,n,) и поверхности вращения с криволинейной образующей I(i,k). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности вращения с криволинейной образующей с нанесением линии пересечения.

27-28. Построить линию пересечения поверхностей цилиндра вращения Ц(j,l) и тора (i,m). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности цилиндра вращения с нанесением линии пересечения.

29-30. Построить линию пересечения поверхностей конуса К(i,m) и поверхности вращения с криволинейной образующей (j,l). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности вращения с криволинейной образующей с нанесением линии пересечения.

31-32. Построить линию пересечения поверхностей цилиндра вращения Ц(j,l) и эллиптического цилиндра (i,m). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности эллиптического цилиндра с нанесением линии пересечения.

33-34. Построить линию пересечения поверхностей вращения с криволинейной образующей (i,k) и прямого геликоида II(i,l,Н). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности вращения с криволинейной образующей с нанесением линии пересечения.

35-36. Построить линию пересечения поверхностей конуса вращения К(i,l) и эллиптического цилиндра (j,m). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности конуса вращения с нанесением линии пересечения.

37-38. Построить линию пересечения поверхностей цилиндра Ц(i,m) и поверхности вращения с криволинейной образующей (j,l).

Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности вращения с криволинейной образующей с нанесением линии пересечения.

39-40. Построить линию пересечения поверхностей конуса вращения К(i,l ) и наклонного кругового конуса I(j,m). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности наклонного кругового конуса с нанесением линии пересечения.

41-42. Построить линию пересечения поверхностей вращения с криволинейной образующей (j,k) и тора I(i,m). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности вращения с криволинейной образующей с нанесением линии пересечения.

43-44. Построить линию пересечения поверхностей цилиндра Ц(i,m) и поверхности вращения с криволинейной образующей (j,k). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности цилиндра с нанесением линии пересечения.

45-46. Построить линию пересечения поверхностей вращения с криволинейной образующей (j,k) и тора I(i,m). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности вращения с криволинейной образующей с нанесением линии пересечения.

47-48. Построить линию пересечения поверхностей вращения с криволинейной образующей (i,k) и коноида I(m,n,). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности вращения с криволинейной образующей с нанесением линии пересечения.

49-50. Построить линию пересечения поверхностей вращения с криволинейной образующей (j,k) и тора I(i,m). Определить видимость линии пересечения и поверхностей. Построить развертку поверхности вращения с криволинейной образующей с нанесением линии пересечения.

Образец выполнения задания приведён на рис.74, 75.

Контрольные вопросы

1. Каковы условия образования поверхностей, линию пересечения которых Вы строили?

2. Какие способы построения линий пересечения поверхностей Вы знаете? В каких случаях может быть применен каждый из этих способов?

3. Какие поверхности называются развертывающимися? Перечислите классы поверхностей, являющихся развертывающимися поверхностями.

4. Что понимается под термином «условная развертка поверхности»?

5. Какие способы построения разверток Вы знаете? Для каких поверхностей применяется каждый из этих способов?

6. Как построить на развертке линию, заданную на поверхности?

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Методические указания к РГР по начертательной геометрии / Под ред. Э.В. Егорова. – М.: МАИ, 1992.

2. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. – М.: Высшая школа, 2000.

3. Гордон В.О., Иванов Ю.Б., Солнцева Т.Е. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. – М.: Высшая школа, 2003.