Методические указания по выполнению лабораторных работ по курсу
"Численные методы решения задач"
для студентов 4 курса специальности "Прикладная математика"
Кафедра МИРЭА Nо536 при ОАО «Концерн радиостроения «ВЕГА»
1. Введение.
Лабораторные работы выполняются студентами группы ИП-3 в 7 и 8 се-
местрах.
Основной целью лабораторных работ является привитие студентам навы-
ков практического использования тех методов и приемов численного решения
задач, которые они изучали на лекционных и практических занятиях.
Задания на выполнение лабораторных работ выдаются студентам после
аудиторного освоения тех тем, закреплению которых посвящена лабораторная
работа.
2. Состав лабораторной работы.
Каждая лабораторная работа состоит из вариантов. Количество вариан-
тов не меньше, чем количество студентов в группе. Каждый студент выполня-
ет один вариант лабораторной работы. Номер варианта соответствует номе-
ру, под которым студент зарегистрирован в списке группы.
Каждый вариант состоит из нескольких заданий. Каждое задание посвя-
щено применению определенного метода к решению конкретной задачи. При
этом требуется не только теоретически решить указанную в задании задачу,
но и составить и отладить программу для решения указанной задачи, а так-
же обеспечить выполнение этой программы с распечаткой полученных резуль-
татов.
3. Порядок выполнения лабораторной работы.
Для выполнения каждого задания лабораторной работы студент должен
изучить необходимую для указанного задания теорию.
Затем разрабатывается алгоритм решения задачи. Проводится его
исследование, подбирается тестовая задача, на которой можно будет прове-
рять правильность функционирования программы решения задачи.
Далее разрабатывается структурная схема программы, отражающая ее ло-
гическую сущность. Затем разрабатывается сама программа.
Программа должна быть написана на языке С, С++ в среде UMIX или
WINDOWS. Использование каких-либо стандартных пакетов, содержащих прог-
раммы решения задач на предлагаемые методы, запрещено.
Программа должна пройти стадию отладки, на которой автор должен
убедиться в ее работоспособности и в том, что она дает правдоподобные
результаты. Для этого используется подготовленный тестовый пример. Кроме
того, желательно в программу вставить блок проверки правильности решения
задачи, для которой разрабатывалась программа.
4. Порядок оформления лабораторной работы.
Одной из существенных компонент работы над лабораторной работой яв-
ляется оформление ее результатов.
По каждой лабораторной работе студент оформляет отчет, который
состоит из титульного листа, текста задания, теоретической части, прак-
тической части и приложений.
Титульный лист содержит наименование учебного заведения, название
курса, по которому выполняется данная лабораторная работа, номер лабора-
торной работы, ее вариант. В титульном листе указывается также должность,
фамилия и инициалы преподавателя, выдавшего лабораторную работу, и рек-
визиты студента: номер группы, курс, фамилия и инициалы студента.
Текст задания - это тот вариант лабораторной работы, который выпол-
няет студент.
Теоретическая часть должна содержать свободное изложение тех воп-
росов теории численных методов, которые используются при решении задач
выполняемого варианта лабораторной работы. При этом необходимо обратить
внимание на понимание излагаемого материала, ибо уровень знания материа-
ла будет являться одним из критериев, используемых при защите лаборатор-
ной работы.
Практическая часть лабораторной работы показывает, как изложенная
теория применена к решению задачи, она содержит подробный алгоритм реше-
ния задачи, а также полученный результат. В зависимости от вида лабора-
торной работы в этом разделе отчета студент должен привести доводы, сви-
детельствующие о достоверности полученных результатов.
Здесь же описывается операционная среда и языки программирования,
инструментальные средства, использованные для подготовки программ, а
также методы отладки программ, решающих задачи данной лабораторной рабо-
ты.
В приложении к отчету приводятся исходные тексты программ с необхо-
димыми комментаориями, а также распечатка результатов их работы.
5. Порядок защиты лабораторной работы.
Защита лабораторной работы производится путем индивидуальной беседы
студента с преподавателем. При этом от студента требуется знание теории
построения методов решения задач, умение оценивать погрешности получен-
ных решений, доказывать сходимость итерационных процессов, построенных в
данной лабораторной работе.
Определенную роль в результате защиты играет программная реализация
численных методов решения задач лабораторной работы. Студент должен
уметь отвечать на вопросы преподавателя, касающиеся выбора средств прог-
раммирования, отладки программы, использования тех или иных инструмен-
тальных средств. По просьбе преподавателя студент должен уметь запустить
содержащиеся в лабораторной работе программы на кафедральных компьютерах
в тех средах, которые на них поддерживаются.
Необходимым условием успешной защиты лабораторной работы для сту-
дента 4-го курса, специализирующегося в области прикладной математики,
является самостоятельность в разработке и отладке программ, приводимых в
отчете по лабораторной работе.
Отчет по успешно защищенной лабораторной работе сдается на кафедру
для его хранения.
6. Тексты заданий лабораторных работ.
6.1.ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
Задание 1.
1) Определить, какое равенство точнее.
2) Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки, и
определить абсолютную погрешность результата.
3) Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел,
если они имеют только верные цифры.
4) Вычислить и определить погрешность результата, если исходные
числа заданы в верных знаках. Записать результат в верных знаках.
Вариант 1. 1) sqrt (44)=6.63 19/41=0.463 2) 22.553 О.п.=0.03% 3) 0.2387 4) X=ab/(c)**1/3 a=3.85 b=2.0435 c=962.6 |
Вариант 2. 1) 7/15=0.467 sqrt (30)=5.48 2) 17.2834 О.п.=0.3% 3) 3.751 4)S=(h(a+b))**2/18(a**2+4ab+b**2) a=1.141 b=3.156 c=1.14 |
Вариант 3. 1) sqrt (10.5)=3.24 4/17=0.235 2) 34.834 О.п.=0.1% 3) 11.445 4)X=m**2(a=b)/(c-d) a=13.5 b=3.7 c=34.5 d=23.725 m=4.22 |
Вариант 4. 1) 15/7=2.14 sqrt (10)=3.16 2) 0.34484 О.п.=0.4% 3) 2.3445 4) X=sqrt(ab)/c a=3.845 b=16.2 c=10.8 |
Вариант 5. 1) 6/7=0.857 sqrt (4.8)=2.19 2) 10.8441 О.п.=0.5% 3) 8.345 4) N=(a+b)**2/2h+(a**2+b**2)h/5 a=0.562 b=0.2518 h=0.68 |
Вариант 6. 1) 12/11=1.091 sqrt (6.8)=2.61 2) 8.24163 О.п.=0.2% 3) 12.45 4) X=(a+b)m/sqrt(c-d) a=23.16 b=8.23 c=145.5 d=28.6 m=0.28 |
Вариант 7. 1) 2/21=0.095 sqrt(22)=4.69 2) 24.5643 О.п.=0.1% 3) 0.374 4) X=((a+b)*c/(m-n))**2 a=4.3 b=17.21 c=8.2 m=12.417 n=8.37 |
Вариант 8. 1) 23/15=1.53 sqrt(9.8)=3.13 2) 23.574 О.п.=0.2% 3) 20.43 4) X=sqrt(a)*b/c a=228.6 b=86.4 c=68.7
|
Вариант 9. 1) 6/11=-0.545 sqrt(83)=9.11 2) 21.68563 О.п.=0.3% 3) 41.72 4) M=(a+b)h**3/4+(a+b)h/12 a=8.53 b=6.271 h=12.48 |
Вариант 10. 1) 17/19=0.889 sqrt(52)=7.21 2) 7.521 О.п.=0.12% 3) 5.634 4) X=(a+b)m/(c-d)**2 a=2.754 b=11.7 c=10.536 d=6.32 m=0.56 |
Вариант 11. 1) 21/29=0.723 sqrt(44)=6.63 2) 0.3567 О.п.=0.042% 3) 18.357 4) X=(a**2)b/c a=3.456 b=0.642 c=7.12 |
Вариант 12. 1) 50/19=2.63 sqrt(27)=5.19 2) 0.85637 О.п.=0.21% 3) 0.5746 4) V=h/3*s(1+a/b+(a/b)**2) a=8.51 b=23.42 s=45.8 h=3.81 |
Вариант 13. 1) 13/17=0.764 sqrt(31)=5.56 2) 15.873 О.п.=0.42% 3) 14.862 4) X=a*b**3/c a=0.643 b=2.17 c=5.843 |
Вариант 14. 1) 7/22=0.318 sqrt(13)=3.60 2) 0.3945 О.п.=0.16% 3) 0.3648 4) X=(a-b)c/sqrt(m+n) a=27.161 b=5.03 c=3.62 m=12.375 n=86.25 |
Вариант 15. 1) 17/11=1.545 sqrt(18)=4.243 2) 24.3618 О.п.=0.22% 3) 2.4516 4) s=h**2/18*((a**2+4a*b+ + b**2)/(a+b)**2) h=21.1 a=22.08 b=31.11 |
Вариант 16. 1) 5/3=1.667 sqrt(38)=6.16 2) 3.7542 О.п.=0.32% 3) 62.74 4) x=a*b/c**2 a=0.3575 b=2.63 c=0.854
|
Вариант 17. 1) 49/13=3.77 sqrt(14)=3.74 2) 83.736 О.п.=0.085% 3) 5.6432 4) x=(a+b)/sqrt((c-d)*m) a=16.342 b=2.5 c=38.17 d=0.14 m=3.6 |
Вариант 18. 1) 13/7=1.857 sqrt(7)=2.64 2) 2.8867 О.п.=0.43% 3) 0.0384 4) v=1/6*pi*h*(3*a**2+h**2) a=2.456 h=1.76 pi=3.14
|
Вариант 19. 1) 19/12=1.58 sqrt(12)=3.46 2) 0.096835 О.п.=0.32% 3) 12.688 4) v=pi**2/4*D*d**2 pi=3.14 D=54 d=8.235 |
Вариант 20. 1) 51/11=4.64 sqrt(35)=5.91 2) 0.66385 О.п.=0.34% 3) 6.743 4) s=1/64*pi* sqrt(D**4-d**4)
|
Задание 2.
1) Найти границы действительных корней, используя схему Горнера.
отделить корни и уточнить каждый из них методом итерации с точностью
до 0.001.
2) Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них
методом итерации с точностью до 0.001.
Вариант 1. . 1) x**3+2x**2+2=0 2) ln(x)+(x+1)**3=0 |
Вариант 2. . 1) х**3-3х**2+9х-10=0 2) х*2**х=1 |
Вариант 3. 1) х**3-2х+2=0 2) sqrt(х+1)=1/х |
Вариант 4. 1) х**3+3х-1=0 2) х-cos(x)=0 |
Вариант 5. 1) х**3+х-3=0 2) 3х+cos(x)+1=0 |
Вариант 6. 1) х**3+0.4х**2+0.6х-1.6=0 2) х+lg(х)=0.5 |
Вариант 7. 1) х**3-0.2х**2+0.4х-1.4=0 2) 2-х=ln(х) |
Вариант 8. 1) х**3-0.1х**2+0.4х+2=0 2) (х-1)**2=1/2e**х |
Вариант 9. 1)х**3+3х**2+12х+3=0 2) (2-х)е**х=0 |
Вариант 10. 1) х**3-0.2х**2+0.5х-1=0 2) 2.2х-2**х=0 |
Вариант 11. 1)х**3-0.1х**2+0.4х+1.2=0 2)х**2+4sin(х)=0 |
Вариант 12. 1) х**3-3х**2+6х-5=0 2) 2х-lg(х)=7 |
Вариант 13. 1) x**3-0.2x**2+0.5x-1.4=0 2) 5x-8ln(x)=8 |
Вариант 14. 1) x**3+2x+4=0 2) 3x-e**x=0 |
Вариант 15. 1) x**3-3*x**2+12*x-12=0 2) x*(x+1)**2=1 |
Вариант 16. 1) x**3+0.2*x**2+0.5*x+0.8=0 2) x=(x+1)**3 |
Вариант 17. 1) x**3+4*x-6=0 2) x**2=sin(x) |
Вариант 18. 1) x**3+0.1x**2+0.4x-1.2=0 2) x**3=sin(x) |
Вариант 19. 1) x**3+3x**2+6x-1=0 2) x=sqrt(lg(x+2)) |
Вариант 20. 1) x**3-0.1x**2+0.4x-1.5=0 2) x**2=ln(x+1) |
Задание 3.
Отделить корни уравнений и уточнить по одному из них с точностью
до 0.001:
а) методом хорд и методом касательных;
б) комбинированным методом.
Вариант 1. а) х-sin(х)=0.25 х**3-3х**2+9х-8=0 б) 2х**3-3х**2-12х-5=0 |
Вариант 2. а) tg(0.58х+0.1)=х**2 х**3-6х-8=0 б) х**3-3х**2-24х-3=0 |
Вариант 3. а) sqrt(x)-cos(0.387х)=0 х**3-3х**2+6х+3=0 б) х**3-3х**2+3=0 |
Вариант 4. а) tg(0.4x+0.4)=x**2 х**3-0.1х**2+0.4х-1.5=0 б) х**3-12х+6=0 |
Вариант 5. а) tg(x)-7/(2х+6)=0 х**3-3х**2+9х+2=0 б) х**3+3х**2-24х-10=0 |
Вариант 6. а) tg(0.5х+0.2)=х**2 х**2+х-5=0 б) 2х**3-3х**2-12х+10=0 |
Вариант 7. а) 3х-cos(х)-1=0 х**3+0.2х**2+0.5х-1.2=0 б) 2х**3+9х**2-21=0 |
Вариант 8. а) х+lg(х)=0.5 х**3+3х+1=0 б) х**3-3х**2+2.5=-0 |
Вариант 9. а) tg(0.5х+0.1)=х**2 х**2+х-5=0 б) х**3+3х**2-2=0 |
Вариант 10. а) х**2+4 sin(x)=0 х**3-3х**2+12х-9=0 б) х**3+3х**2-3.5=0 |
Вариант 11. а) ctg(1.05х)-х**2=0 х**3-0.2х**2+0.3х-1.2=0 б) х**3+3х**2-24х-10=0 |
Вариант 12. а) tg(0.4х+0.3)=х**2 х**3-3х**2+6х-2=0 б) х**3-3х**2-24х-8=0 |
Вариант 13. a) x*lg(x)-1.2=0 x**3-0.1x**2+0.4x-1.5=0 b) 2x**3+9x**2-10=0 |
Вариант 14. a) 1.8x**2-sin(10x)=0 x**3+3x**2+6x-1=0 b) x**2-12x+10=0 |
Вариант 15. а) ctg(x)-x/4=0 x**3+0.1*x**2+0.4*x-1.2=0 b) x**3+3*x**2-3=0 |
Вариант 16. а) tg(0.3*x+0.4)=x**2 x**3+4*x-6=0 b) 2*x**3-3*x**2-12*x+1=0 |
Вариант 17. a) x**2-20sin(x)=0 x**3+0.2x**2+0.5x+0.8=0 b) x**3-3x**2-24x-5=0 |
Вариант 18. a) ctg(x)-x/3=0 x**3-3x**2+12x-12=0 b) x**2-4x**2+2=0 |
Вариант 19. а) tg(0.47x+0.2)=x**2 x**3-0.2x**2+0.3x+1.2=0 b) x**3-12x-5=0 |
Вариант 20. a) x**2+4sin(x)=0 x**3-2x+4=0 b) x**3+3x**2-24x+1=0 |
6.2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
Задание 1.
Разработать программу решения системы линейных уравнений (СЛУ)
одним из точных методов:
1.1. Крамера
1.2. Гаусса
1.3. Халецкого.
Конкретный метод для каждого студента определяется в соответст-
вии со следующей таблицей:
Номер в списке |
Метод |
Номер в списке |
Метод |
|
1 |
1.1 |
11 |
1.3 |
|
2 |
1.2 |
12 |
1.3 |
|
3 |
1.3 |
13 |
1.1 |
|
4 |
1.1 |
14 |
1.2 |
|
5 |
1.3 |
15 |
1.1 |
|
6 |
1.2 |
16 |
1.2 |
|
7 |
1.2 |
17 |
1.1 |
|
8 |
1.3 |
18 |
1.2 |
|
9 |
1.1 |
19 |
1.3 |
|
10 |
1.2 |
20 |
1.3 |
|
|
7 |
|
||
Задание 2.
Разработать программу решения СЛУ одним из приближенных методов:
2.1. Итерации
2.2. Зейделя.
Конкретный метод для студента определяется по принципу: для сту-
дента с четным номером выбирается метод 2.1; для студента с нечетным
номером выбирается метод 2.2.
Задание 3.
3.1. Исследовать сходимость итерационных процессов для конкретной
СЛУ и решить ее точным и приближенным методом, разработанным в заданиях
1 и 2.
3.2. Сопоставить время расчетов и точность результатов.
Исходная СЛУ для вариантов 1-6 слагается из общей матрицы коэффици-
ентов А:
5 1 -1 2
А = 0.5 -4 2 -1
-1 0.2 -6 3
1 -0.5 3 -6
и столбца свободных членов, индивидуального для каждого варианта:
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
12 |
11 |
22 |
25 |
24 |
- 5 |
0.5 |
- 4 |
- 14.5 |
- 1 |
- 11 |
- 17 |
- 6.6 |
- 22.4 |
- 2.2 |
- 6.8 |
- 13.2 |
2.8 |
13 |
- 8 |
- 8 |
- 8.5 |
- 30 |
5 |
Исходные данные для вариантов 7-12:
4 2 -1 0.5
1 -5 2 1
А = 2 1 -4 -1.5
1 -0.4 0.8 -3
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
- 9 |
11.5 |
10 |
12.5 |
30.5 |
4.5 |
- 10 |
1 |
1 |
2 |
- 20 |
14 |
- 1 |
0.5 |
- 2 |
- 9.5 |
6.5 |
- 27.5 |
- 4.2 |
7.2 |
- 3.6 |
2.4 |
1.2 |
- 1.8 |
Исходные данные для вариантов 13-19:
3 -0.5 0.5 -1
1 5 -1 -2
А = 2 -1 4 -0.5
1 2 -1 5
Вариант13 |
Вариант14 |
Вариант15 |
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
Вариант 19 |
2.5 |
18.5 |
10.5 |
4.5 |
3.5 |
14.5 |
15 |
- 8 |
11 |
38 |
13 |
- 1 |
- 5 |
4 |
20 |
18.5 |
13 |
29.5 |
30.5 |
14.5 |
- 18 |
42 |
37 |
28 |
19 |
25 |
- 6 |
26 |