1.2. Порядок сдачи заданий

1. Выполненное задание студент сдает преподавателю, ведущему занятия в данной группе.

2. Проверенные работы преподаватель возвращает студентам.

3. Для того чтобы работа была зачтена и подписана преподавателем, студент должен:

а) правильно решить задачу;

б) аккуратно графически оформить решение с соблюдением требований ГОСТов и настоящих указаний;

в) уметь подробно рассказать, как и в каком порядке решается задача;

г) обосновать рациональность выбранного способа решения;

д) ответить на контрольные вопросы, относящиеся к данному заданию.

4. Подписанные преподавателем работы сохраняются студентами и предъявляются на зачёте.

2. Расчётно-графические работы

2.1. Задание №1

Указания по выполнению задания

1. Задание выполняется на листе формата А3 (297х420).

2. Для выполнения задания необходимо изучить следующие разделы курса:

а) взаимное расположение прямой и плоскости;

б) основные позиционные задачи;

в) многогранники;

г) аксонометрию.

3. Построение сечения многогранника выполняется на комплексном чертеже в двух проекциях. На чертеже должны быть проставлены обозначения, отражающие ход решения задачи. Видимое на проекции сечение многогранника штрихуется в соответствии с ГОСТом 2.306-68. При определении видимости фигуры на проекциях секущую плоскость во внимание не принимать.

4. Аксонометрическая проекция строится обычными методами, фигура сечения строится по координатам её вершин с указанием соответствующих вторичных проекций точек. Для построения аксонометрического изображения многогранника необходимо предварительно задать на комплексном чертеже натуральную систему осей координат Оxyz. Эту систему располагают так, чтобы многогранник в аксонометрии занимал наиболее выгодное положение, а сечение было видимым. Некоторые из возможных вариантов расположения координатных осей системы Оxyz показаны на рис.3.

5. Часть многогранника, находящегося перед секущей плоскостью, на комплексном и аксонометрическом чертежах показывать штрихпунктирной утолщённой линией, согласно ГОСТ 2.303-68.

Z₂ Z₂

Х₂

O₂=Y₂ O₂=X₂ Y₂

O₁=Z₁ O₁=Z₁ Y₁

X₁

Y₁ X₁

Рис. 3

Теоретические сведения

1. Позиционные задачи. Позиционными задачами называются задачи на определение взаимного положения геометрических фигур. К ним относятся, например, задачи на взаимопринадлежность и задачи на пересечение.

а) Взаимное положение прямой линии и плоскости в пространстве может быть следующим:

- прямая лежит в плоскости;

- прямая пересекает плоскость;

- прямая параллельна плоскости.

Для определения взаимного положения прямой и плоскости прибегают к некоторым вспомогательным построениям:

- через данную прямую (m) проводят некоторую вспомогательную плоскость ();

- строят прямую (MN) пересечения данной плоскости () и вспомогательной ();

При этом возможны три случая:

1) если прямая m совпадает с прямой MN, то прямая m

принадлежит плоскости .

2) если прямая m пересекает прямую MN, то прямая m пересекает плоскость  (рис. 4).

3) если прямая m параллельна прямой MN, то прямая m параллельна плоскости .

б) Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения – первая позиционная задача.

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего

п оложения прибегают к таким же вспомогательным построениям, что и при определении взаимного расположения прямой и плоскости.

Пример 1 (рис. 5).

Дано: плоскость (АВС), прямая а.

Определить: точку К пересечения прямой а

с плоскостью (АВС) ; т.К = (АВС)  а.

Решение:1)проведём через прямую а

фронтально-проецирующую плоскость .

2)₂(А₂В₂С₂)  ₂ = 1₂2₂. 1₁А₁В_1, 2₁С₁В_1, тем

самым определена прямая 12, по которой

вспомогательная плоскость  пересекает заданную

плоскость (АВС).

3) Определим горизонтальную проекцию точки К:

К₁ = а₁  1₁2₁; К₂а_2.

4

Рис. 5

)По конкурирующим точкам 1 и 3 определяем

видимость прямой а на П_1, по точкам 4 и 5

видимость прямой а на П₂.

в) Пересечение двух плоскостей общего положения – вторая позиционная задача.

Для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.

Пример 2 (рис. 6).

Д ано: плоскость

(ab); плоскость

(cd).

Построить:линию пересече-

ния плоскостей  и

 - К₁К₂ = .

Решение:

1. Возьмём две вспомогательные

фронтально-прое-

цирующие плос-

кости _{1 и} ₂,

пересекающие

Рис.6

каждую из плос-

костей  и .

2) ₁₂  ₂ = 1₂2_2; определяем горизонтальную проекцию прямой 1₁2₁;

₁₂  ₂ = 3₂4₂; определяем горизонтальную проекцию прямой 3₁4₁.

Эти прямые, расположенные в пл. ₁, в своём пересечении определяют первую точку К₁₁ = 1₁2₁  3₁4₁, линии пересечения плоскостей  и .

3) ₂₂  ₂ = 5₂6₂;  5₁6₁;

₂₂  ₂ = 7₂8₂;  7₁8₁;

К₂₁ = 5₁6₁  7₁8_1.

4)Проекции К₁₂ и К₂₂ определяем на проекциях ₁₂ и ₂₂ . Этим определяются проекции К₁₁ К₂₁ и К₁₂ К₂₂ искомой прямой пересечения плоскостей  и .

2.Аксонометрия.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта сис-

т ема точек отнесена в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость, поэтому аксонометрическая проекция есть проекция только на одной плоскости.

На рис.7 показана схема

проецирования точки А на плоскость

аксонометрических проекций .

Здесь Ox, Oy, Oz оси координат в

пространстве, прямые O_x, O_y, O_z –

их проекции на пл. , называемые

аксонометрическими осями.

Отношения между аксонометри-

ческими проекциями отрезков и

самими отрезками называются

коэффициентами (или показателя-

м

Рис.7

и) искажения вдоль соответствую-

щих осей.

Так,

k = l_x/l = O_A_x/OA_x - показатель искажения по оси х;

m = l_y/l = O_A_y/OA_y - показатель искажения по оси y;

n = l_z/l = O_A_z/OA_z - показатель искажения по оси z.

Если все три коэффициента искажения равны между собой (k=m=n), то аксонометрическая проекция называется изометрической; если равны между собой только два коэффициента искажения, то проекция

называется диметрической; если три коэффициента не равны между собой, то проекция называется триметрической.

Если направление проецирования не перпендикулярно к пл. , то аксонометрическая проекция называется косоугольной. В противном случае аксонометрическая проекция называется прямоугольной (или ортогональной).

С войства прямоугольной аксонометрической проекции.

1. Треугольник следов XYZ, по которому

плоскость проекций пересекает координатные

плоскости натуральной системы, всегда

остроугольный.

2. Высоты треугольника следов совпадают

по направлению с аксонометрическими осями.

3. Сумма квадратов показателей искажения

р

Рис.8

авна 2: k² + m² + n² = 2.

На практике часто пользуются приведённой аксонометрией, т.е.

- в изометрической проекции коэффициенты искажения k=m=n=1;

- в диметрической проекции коэффициенты искажения k=n=1, m=0,5.

П ример 3. Построить

приведённую ортогональ-

ную изометрию точки А, за-

данной комплексным чер-

тежом. (рис. 9).

Решение:

1) Строим аксонометри-

ческие оси с углами 120⁰.

2)Измеряем на комплекс-

н

Рис.9

ом чертеже натуральные

координаты точки X_A, Y_A, Z_A.

3)Откладываем измеренные отрезки на соответствующих аксонометрических осях. Точка А_^’ - вторичная проекция точки А на плоскость П₁(можно построить еще две вторичные проекции); точка А_ - аксонометрическая проекция точки А.

Позиционные задачи на аксонометрическом чертеже решаются так же, как и на комплексном.

Варианты задания

Варианты 1-50 к заданию №1 приведены на рис. 10-34.

В задании №1 необходимо:

- на комплексном чертеже построить сечение многогранника плоскостью γ;

- в ортогональной аксонометрии (приведенной изометрии, диметрии или кабинетной проекции) построить по исходным данным комплексного чертежа фигуры изображение многогранника, выделив при этом усеченную плоскостью γ часть многогранника.

Образец выполнения задания №1 приведен на рис. 35.

Контрольные вопросы

1. Какие задачи называются позиционными и как решаются две основные позиционные задачи?

2. Как определяется видимость точек и прямых на комплексном чертеже?

3. Как построить точки пересечения прямой с многогранником?

4. Изложите сущность «способа рёбер» и «способа граней», применяемых при построении линии пересечения двух многогранников.

5. В чем состоит сущность метода аксонометрии?

6. Что называют аксонометрическими осями? Аксонометрическими масштабами? Показателями искажения?

7. Какие существуют виды аксонометрических проекций?

8. Каким условиям должны удовлетворять показатели искажения в ортогональной аксонометрии?

9. Какие показатели искажения называют приведенными? Как подсчитывается коэффициент приведения?

10. Как строятся аксонометрические оси в ортогональной изометрии, диметрии, кабинетной проекции и чему равны показатели искажения по осям?