Тема 11. Классические методы оптимизации

Экстремумы функции нескольких переменных: необходимые и достаточные условия точки экстремума. Условная оптимизация: метод подстановки, метод множителей Лагранжа.

Раздел 2 Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Тема 12. Матрицы и определители

Понятие матрицы, обозначения матриц и способы записи, размерность матрицы; квадратные, диагональные, единичные и нулевые матрицы; вектор-строка, вектор-столбец; операция транспонирования матриц. Операции с матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц) и свойства этих операций (коммутативность сложения матриц, ассоциативность сложения, ассоциативность умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения, роль единичной матрицы), матричные уравнения. Определители квадратных матриц: миноры, дополнительные миноры, алгебраические дополнения; принцип Лапласа (разложения определителя по строке, по столбцу). Свойства определителя (кососимметричность, полилинейность и т.д.), вычисление определителя матрицы путем применения его свойств. Понятия обратимой и обратной матриц, единственность обратной матрицы. Условие невырожденности матрицы. Понятие присоединенной матрицы. Обращение квадратных матриц с помощью определителя.

Тема 13. Системы линейных уравнений

Основные понятия (линейное уравнение и его решение, система линейных уравнений и ее решение, матрица и расширенная матрица системы); способы записи систем линейных уравнений – развернутая, векторная, матричная; классификация систем линейных уравнений по числу решений – совместные и несовместные, совместные определенные и совместные неопределенные системы. Метод Крамера решения систем n линейных уравнений c n неизвестными (доказательство теоремы для случая системы двух уравнений с двумя неизвестными). Метод обратной матрицы решения систем n линейных уравнений c n неизвестными. Матрицы в экономических приложениях: задача межотраслевого баланса. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений: эквивалентные системы и равносильные преобразования систем (перемена уравнений местами, добавление или исключение уравнения вида , умножение уравнения на ненулевое число, почленное сложение уравнений), реализация прямого и обратного хода метода Гаусса в случае определенной системы. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений: случай неопределенной системы, поиск свободных и базисных переменных. Метод Крамера поиска общего решения неопределенной системы уравнений.

Тема 14. Конечномерные пространства

Системы векторов, арифметическое конечномерное пространство, линейная зависимость и линейная независимость, ранг системы векторов и ранг матрицы. Теорема Кронекера — Капелли. Линейные пространства: определения и примеры. Однородные системы линейных уравнений: фундаментальная система пространства решений. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений — связь множеств их решений. Линейные операторы. Собственные значения (числа) и собственные векторы матрицы. Евклидово пространство. Квадратичные формы.