4. Закони додавання і множення

1) Закон існування і єдиності суми.

З означення дробу і означення дії додавання невід’ємних раціональних чисел та закону існування суми і добутку натуральних чисел випливає, що дія додавання дробових чисел завжди здійсненна, тобто, що сума невід’ємних раціональних чисел завжди існує і є число невід’ємне і раціональне.

Наприклад. 1)

2)

У цих прикладах знайдено суму, користуючись означенням. Проте дроби і можна замінити еквівалентними їм дробами із спільним знаменником по-різному. Чи не зміниться від цього їх сума? Наприклад, дроби і простіше додати, звівши до найменшого спільного знаменника:

2) Переставний закон:

Доведення.

Беручи до уваги переставний закон додавання і множення натураль­них чисел, легко зробити висновок про тотожність цих виразів.

3) Сполучний закон:

Доведення.

Ці вирази тотожно рівні. Оскільки всі перетворення еквівалент­ні, то і вихідна рівність є тотожністю.

Дія множення в множині невід’ємних раціональних чисел має ті самі властивості, що й множення натуральних чисел:

1) Існування і єдиність добутку: які б не були невід’ємні раціональні числа , , завжди існує невід’ємне раціональне число · , що є їх добутком, і до того ж єдине.

2) Комутативний (переставний) закон: від зміни місць співмножників значення добутку не змінюється:

Доведення. Виконаємо дії у правій і лівій частинах рівності:

Оскільки для множення цілих невід’ємних чисел має місце комутативний закон, можна зробити висновок, що ці дроби рівні.

3) Асоціативний (сполучний) закон: окремі співмножни­ки можна сполучати в будь-які групи, а потім перемножати. Від цього значення добутку не зміниться:

4) Монотонність множення:

5) Дистрибутивний (розподільний) закон відносно до­давання і віднімання:

Приклади :

1)

2)

5. Упорядкованість множини додатних раціональних чисел

Якщо раціональні числа представлені рівними дробами, то вони рівні.

Наприклад, а = , b = , то а = b тому, що = .

Як визначити, яке число більше чи менше ?

Означення: Нехай а і b – додатні раціональні числа. Тоді а < b, якщо існує таке додатне раціональне число с, що а + с =b.

Для того, щоб різниця додатних раціональних чисел а і b існувала, необхідно і достатньо, щоб b<a.

Відношення «менше» володіє властивостями антисиметричності і транзитивності, тобто є відношенням порядку на множині додатних раціональних чисел, а сама ця множина є упорядкованою множиною.

В множині додатних раціональних чисел:

1) немає найменшого числа;

2) між будь-якими двома різними додатними раціональними числами існує нескінченно багато чисел цієї множини.

6. Запис додатних раціональних чисел у вигляді десяткових дробів

Означення. Десятковим дробом називається дріб, знаменником якого є , де п Є N, і який записано в позиційній десятковій системі числення так: записано чисельник і в ньому справа наліво відділено п цифр (десяткових знаків).

Наприклад.

Якщо число цифр чисельника не більше від показника п (тобто не більше, ніж кількість нулів у степені десяти, що є знаменни­ком), то зліва дописують необхідну кількість нулів.

Наприклад. і т. д.

Зазвичай, десяткові дроби значно більше застосовують при об­численні, ніж звичайні. Це пояснюється ще й тим, що в основу мет­ричної системи мір також взято число 10, а тому при практичних вимірюваннях здебільшого дістаємо десяткові дроби. Через те тепер у школі після першого ознайомлення із звичайними дробами спочат­ку вивчають дії над десятковими дробами, а потім над зви­чайними.

Основна властивість десяткового дробу:

дописування нулів справа дробової частини запису десяткового дробу не змінює його значення.

Наприклад, 0,3 = 0,30 = 0,300 = ..., що випливає з основної властивості звичайних дробів:

Будь-яке натуральне число а_та_т-1... можна подати у вигляді десяткового дробу а_та_т-1... , 0 ...0.

При перенесенні у десятковому дробові коми на і цифр праворуч значення дробу збільшується в разів, а ліворуч — зменшується в разів. Це випливає з самого означення десяткового дробу.

Правило. Щоб даний десятковий дріб помножити або поділити на , треба перенести кому на і цифр відповідно вправо або вліво.

Оскільки у дробовій частині запису десяткових дробів можна справа дописувати нулі, від чого значення дробу не змінюється, то в загальному вигляді два десяткових дроби можна записати так, що вони матимуть однакову кількість цифр після коми, тобто бу­дуть зведені до спільного знаменника.

Наприклад, щоб порівняти десяткові дроби 12,34 і 6,36472, пер­ший дріб можна записати так: 12,34000, і тоді порівняння десяткових дробів можна звести до порівняння їх чисельників. Проте практич­но для порівняння десяткових дробів дописувати нулі немає потре­би. Досить порівняти цілі частини; той дріб виражає більше число, у якого ціла частина більша. Якщо цілі частини рівні, той дріб ви­ражає більше число, у якого більше десятих часток, і т. д.

Правило. Десяткові дроби слід додавати, як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми, тільки всі розряди слід підписувати під відповідними їм розрядами, і в одержаній сумі відокремити спра­ва стільки десяткових знаків, скільки їх має доданок з найбільшою кількістю десяткових знаків.

Примітка. Тут сказано «з найбільшою кількістю десяткових знаків», а не «стільки десяткових знаків, скільки їх має кожний доданок» тому, що практич­но нулі у десятковій частині не дописують, а просто їх мають на увазі.

Наприклад. + 23,516

982,8

1006,316

Закони додавання, доведені для звичайних дробів, мають місце і для десяткових дробів, оскільки десяткові дроби є окремим випад­ком звичайних.

Віднімання виконується аналогічно:

Наприклад. 415,634

¯ 12,78

402,854

Правило. Десяткові дроби слід перемножати, як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми, а потім відокремити в добутку стільки десяткових знаків, скільки їх у множеному і множнику разом.

Наприклад. 12,36

^Х 1,214

+ 4944

1236

2472

1236____

15,00504

Для десяткових дробів зберігаються перевірені уже для звичай­них дробів закони множення.

Як показано вище, в результаті виконання дій додавання, відні­мання і множення над десятковими дробами завжди дістаємо десят­кові дроби.

Розглянемо ділення десяткового дробу на десятковий дріб.

Наприклад,

1)

2)

Як уже зазначалось, будь-яке ціле число можна записати у ви­гляді десяткового дробу, з нулями після коми.

Наприклад, 5 = 5,000...

Виникає запитання: чи будь-яке дробове число можна зобразити у вигляді десяткового дробу? Щоб дати відповідь на це запитання, проаналізуємо, за якою ознакою приклади записано у правій і у лівій колонках?

Відповідні дробові числа правої і лівої колонок мають однакові чисельники, проте залежно від знаменників або процес ділення чисельника на знаменник закінчується і в результаті дістаємо скінченний десятковий дріб (зліва), або не закінчується і дістаємо нескін­ченний десятковий дріб (справа), причому обов’язково періодич­ний — у ньому одна або кілька цифр періодично повторюються. При уважному аналізі можна помітити, чим відрізняються знамен­ники дробів правої і лівої колонок.

Теорема 1. Для того щоб звичайний нескоротний дріб можна було перетворити у десятковий, необхідно й достатньо, щоб канонічний розклад його знаменника не містив жодних простих множників, крім 2 і 5.

Наслідок. Будь-який нескоротний дріб, канонічний розклад зна­менника якого не містить ніяких множників, крім 2 і 5, можна по­дати у вигляді десяткового дробу, причому двома способами:

1) діленням його чисельника на знаменник;

2) домноженням чисельника і знаменника дробу на відповідний степінь 2 або 5.

Приклади.

1) або

2) або

3) або

Теорема 2. Якщо нескоротний дріб — не перетворюється у скінченний десятковий, то його можна записати у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу (такий десятковий запис дробу, у якому, починаючи з деякого місця, одна і та сама цифра або су­купність цифр без кінця повторюються в певному порядку).

Сукупність цифр, які повторюються, називається періодом. У пе­ріоді буде не більше ніж п — 1 цифра. Наприклад,

Розрізняють чисті і мішані періодичні десяткові дроби.

Чистим періодичним десятковим дробом називається періодичний десятковий дріб, у якого період починається безпосеред­ньо після коми: 0,333..., 0,232323...

Мішаним періодичним десятковим дробом називається періодичний десятковий дріб, у якого період починається не відразу після коми: 0,08333..., 17,12777... При цьому число, що стоїть між комою і початком періоду, називається доперіодичною частиною.

Періодичні десяткові дроби записують компактніше, беручи пе­ріод у дужки:

0,232323…= 0,(23) – нуль цілих і 23 в періоді;

0,08333… = 0,08(3) – нуль цілих, нуль вісім до періоду і 3 в періоді.

Чистий періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробові, чисельник якого є число, що стоїть у періоді, а знаменник число, записане стількома дев’ятками, скільки цифр у періоді.

Приклади. 1) 2)

Мішаний періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробові, чисельником якого є різниця між числом, що стоїть до періоду і в періоді, і числом, що стоїть до періоду, а зна­менником — число, записане стількома дев’ятками, скільки цифр у періоді, і з стількома нулями на кінці, скільки цифр між комою і періодом.

Приклади. 1.

Перевірка.

2.

Практично досить часто використовують десяткові дроби із сталим знаменником 100. Такі дроби легко порівнювати між со­бою, бо не треба попередньо зводити їх до спільного знаменника. Ці дроби, як відомо, називають процентами.

Процент — одна сота частина числа або одиниці (назва похо­дить від двох латинських слів «рrо сеntum» — «від ста» — заста­ріла назва «відсоток»).