Нерівності з однією змінною
Означення. Нехай f (х) і g (x) – два вирази зі змінною х і областю визначення X. Тоді висловлювальні форми виду f (х) > g (x) або f (х) < g (x) називаються нерівностями з однією змінною.
Значення змінної х із множини X, при якому нерівність перетворюється у істинну числову нерівність називається розв’язком нерівності.
Розв’язати нерівність – означає знайти множину розв’язків даної нерівності.
В основі розв’язання нерівностей першого степеня з однією змінною лежать теореми про рівносильність нерівностей.
Рівносильність нерівностей
Означення. Дві нерівності називаються рівносильними, якщо їх множини розв’язків рівні.
Наприклад,
нерівності
і
рівносильні, бо їх множини розв’язків
рівні і є числовим проміжком
.
Теореми про рівносильність нерівностей схожі з теоремами про рівносильність рівнянь, і доведення їх аналогічне до доведення теореми 1 рівносильності рівнянь.
Теорема
3.
Нехай нерівність f
(х)
>
g
(x)
задана на множині Х і h
(х)
– вираз, який визначений на тій же
множині Х. Тоді нерівність
і дана нерівність f
(х) >
g
(x)
рівносильні.
Теорема
4. Нехай
нерівність f
(х)
>
g
(x)
задана на множині Х і h
(х)
– вираз, який визначений на тій же
множині Х і для всіх значень х
з множини Х
.
Тоді нерівність
і дана нерівність
рівносильні на множині Х.
Теорема
5.
Нехай нерівність f
(х)
>
g
(x)
задана на множині Х і h
(х)
– вираз, який визначений на тій же
множині Х і для всіх значень х
з множини Х
.
Тоді нерівність
і дана нерівність
рівносильні на множині Х.
При розв’язуванні нерівностей з однією змінною першого степеня використовують наслідки з теорем про рівносильність нерівностей.
Наслідки з теорем про рівносильність нерівностей
До теореми 3
1. Якщо до обох частин нерівності додати одне й те саме число, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
2. Якщо в нерівності перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
До теореми 4
Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на одне і те саме додатне число, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
До теореми 5
Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на одне і те саме від’ємне число і знак нерівності змінити на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
Наприклад.
1.
Розв’яжемо нерівність:
а)
Перенесемо доданок 2х
у ліву
частину нерівності, а доданок 5 у праву,
змінивши їх знаки на протилежні:
За наслідком 2 з теореми 3 дістанемо нерівність, рівносильну даній.
б)
Виконаємо тотожне перетворення –
зведемо подібні:
Дістали нерівність, рівносильну попередній, а отже і даній.
в)
Поділимо ліву і праву частини нерівності
на число 2:
За наслідком з теореми 4 дістанемо нерівність, рівносильну попередній, отже і даній.
Отже, розв’язком нерівності є проміжок
2.
Розв’яжемо нерівність:
Розв’язання.
Отже,
множиною розв’язків нерівності є
проміжок
У початкових класах розглядаються лише найпростіші нерівності. Вони розв’язуються такими способами: методом підбору; на основі залежностей між компонентами та результатом дій; зведенням нерівності до рівності.
Наприклад.
При яких значеннях букви а
правильна нерівність
.
Міркуємо
так: зводимо до рівності, рівняння
перетворюється у правильну рівність
при
.
Щоб сума
була менше 90, потрібно взяти
(якщо один
доданок сталий, а другий зменшити, то і
сума зменшиться).
Отже,
на множині цілих невід’ємних чисел
множиною розв’язків нерівності є
множина
.