§ 5. Відношення та відповідність

План

1. Поняття відношення. Граф відношення.

2. Способи задання відношень.

3. Властивості відношень.

4. Відношення еквівалентності.

5. Відношення порядку.

6. Поняття відповідності.

7. Способи задання відповідностей.

8. Відповідність, обернена даній.

9. Взаємно однозначні відповідності.

10. Рівнопотужні множини.

1. Поняття відношення. Граф відношення

У математиці вивчають не тільки об’єкти, але і зв’язки, відношення між ними.

Наприклад. Відношення у множині чисел: «більше», «більше на», «більше в», «менше»; у множині прямих: «паралельність», «перпендикулярність»; у множині фігур: «рівність», «подібність».

Відношення між двома об’єктами називається бінарним. Ми будемо розглядати тільки бінарні відношення або просто відношення.

Перед нами постає завдання: маючи уявлення про конкретні відношення між числами, геометричними фігурами, множинами та іншими об’єктами, встановити, що спільне є у цих відношень, яким чином можна класифікувати таку велику кількість різноманітних відношень. Знання цього матеріалу потрібно вчителю початкових класів для того, щоб, вивчаючи конкретні відношення в початковій школі, розуміти їх спільність, взаємозв’язки, роль у засвоєнні тих чи інших понять.

Візьмемо множину Х = {2,3,4} і розглянемо деякі відношення між її елементами:

«більше»: «3>2», «4>2», «4>3», маємо пари (3;2), (4;2), (4;3);

«більше на 1»: «3>2 на 1», «4>3 на 1», маємо пари (3;2), (4;3).

Бачимо, що для кожного відношення маємо множину впорядкованих пар. Для відношення «більше» це множина {(3;2), (4;2), (4;3)}, для відношення «більше на 1» - {(3;2), (4;3)}. Ці множини є підмножинами декартового добутку Х×Х = {(2;3), (2;4), (2;2), (3;2), (3;3), (3;4), (4;2), (4;3), (4;4)}.

Означення. Відношенням між елементами множини Х або відношенням, визначеним у множині Х, називають будь-яку підмножину декартового добутку Х×Х, або декартового квадрата Х².

Відношення позначають великими буквами латинського алфавіту: P, Q, R, S і т.д. Якщо елемент х знаходиться у відношенні R з елементом у, то пишуть так: хRу.

Відношення можна позначати графічно. Для цього в математиці існує поняття графа.

Означення. Графом (від грец. «графо» - пишу) називається креслення, яке складається з точок, що позначають елементи множини, та стрілок, які з’єднують відповідні точки, вказуючи на певне відношення між елементами даної множини.

Наприклад. У множині Х = {2,4,6,8} задано відношення Р: «х < у». Тоді його можна записати Р = {(2;4), (2;6), (2;8), (4;6), (4;8), (6;8)}, або подати за допомогою графа.

Стрілки графа можуть починатися і закінчуватися в одній і тій же вершині, вони називаються петлями. Якщо дві різні точки графа з’єднуються стрілками, напрями яких протилежні, то для спрощення дві стрілки замінюють однією і називають її подвійною.

Наприклад. У множині Х = {2,4,68,12} задано відношення R: «кратне». Тоді його можна записати R = {(2;2), (4;2), (4;4), (6;2), (6;6), (8;2), (8;4), (8;8), (12;2), (12;4), (12;6), (12;12)}, або подати за допомогою графа.