4. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне натуральних чисел, способи їх знаходження

Означення: Спільним дільником натуральних чисел а і b називається натуральне число, яке є дільником кожного з даних чисел.

Означення: Найбільшим спільним дільником натуральних чисел а і b називається найбільше число з усіх спільних дільників даних чисел і позначається НСД (а, b) або Д (а, b).

Візьмемо два числа 12 і 18. Дільники числа 12 є : 1, 2, 3, 4, 6, 12, а числа 18 – 1, 2, 3, 6, 9, 18. Спільні дільники чисел 12 і 18: 1, 2, 3, 6. Серед них найбільшим спільним дільником є число 6.

Найбільший спільний дільник має такі найпростіші властивості:

1. Для будь-яких натуральних чисел а і b існує єдиний НСД. Справді, множина спільних дільників чисел а і b не порожня, бо вона має принаймні число 1, крім того вона скінченна. Тому серед її елементів знайдеться єдине число, яке є НСД (а, b).

2. НСД (а, b) не перевищує меншого з даних чисел, тобто якщо а < b , то НСД (а, b) ≤ а.

3. НСД (а, b) ділиться на будь-який їхній спільний дільник. Справді, нехай НСД (а, b) = d а d₁ – будь-який їхній спільний дільник. Тоді а=dq, d=dq₁, де числа q і q₁ мають спільним дільником тільки 1. Отже, спільний дільник d₁ чисел а і b є дільником їхнього найбільшого спільного дільника d.

4. Якщо а b, то НСД (а, b) = b.

Означення: Якщо НСД(а₁,а₂,…, а_k)=1, то числа а₁,а₂,…, а_k називаються взаємно простими. Якщо, крім того, кожна пара цих чисел взаємно проста, то числа а₁,а₂,…, а_k називаються попарно взаємно простими.

Так числа 4, 6, 7 – взаємно прості, НСД(4,6,7) =1. Проте вони не є попарно взаємно простими, НСД(4,6) = 2.

Означення: Спільним кратним натуральних чисел а і b називається натуральне число, кратне кожному з даних чисел.

Означення: Найменшим спільним кратним натуральних чисел а і b називається найменше число з усіх спільних кратних даних чисел. Найменше спільне кратне позначається НСК (а, b) або К (а, b).

Візьмемо числа 12 і 18. Кратними числа 12 є: 12, 24, 36, …, а кратними числа 18 – 18, 36, 54, … Числа 12 і 18 мають спільні кратні 36, 72, …Серед них найменше – 36. Отже НСК(12, 18) = 36.

Найменше спільне кратне має такі найпростіші властивості:

1. Для будь-яких натуральних чисел а і b існує єдине НСК.

2. Найменше спільне кратне чисел а і b не менше більшого з даних чисел, тобто якщо а> b, то НСК(а, b) ≥ а.

3. Кожне спільне кратне даних чисел а і b ділиться на найменше спільне кратне цих чисел.

4. Якщо а b, то НСД (а, b) = а .

Теорема: НСД(а,b) є найменшим спільним кратним усіх спільних дільників чисел а і b.

Способи знаходження найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного

І спосіб обчислення НСК і НСД за канонічним розкладом чисел

Знайдемо НСК і НСД чисел 360 і 525. Ці числа можна подати у канонічному вигляді: 360 = 2³ ∙ 3² ∙ 5; 525 = 3 ∙ 5² ∙ 7. У розклад на прості множники НСД цих чисел повинні ввійти всі спільні прості множники, причому кожний з них треба взяти з найменшим показником, з яким він входить в канонічні розклади даних чисел. Отже НСД(360, 525) = 3 ∙ 5 = 15.

У розлад на прості множники НСК (360, 525) повинні ввійти всі прості множники, які входять принаймні в один розклад, причому кожний з них треба взяти з найбільшим показником. НСК(360, 525) = 2³ ∙ 3² ∙ 5² ∙ 7 = 12 600.

Теорема: НСК (а, b) ∙ НСД (а, b) = а ∙ b.

Наслідок: Якщо НСК (а, b) = 1, то НСК (а, b) = а ∙ b .

ІІ спосіб обчислення НСК і НСД за алгоритмом Евкліда

Лема 1: Якщо а ділиться на b, то НСД (а, b) = b.

Лема 2: Якщо а = bq+ r, де а, b, r – натуральні числа, то НСД (а, b) = НСД (b, r).

Розглянемо алгоритм Евкліда для знаходження НСД довільних натуральних чисел а і b. Нехай а ≥ b. Якщо а b,то за лемою 1 НСД ((а, b) = b. Якщо а = bq+ r, де r ≠ 0, то за лемою 2 задача знаходження НСД зводиться до обчислення НСД чисел b, r, де r < b. Якщо b r, то НСД (b, r)=r, а отже, і НСД(а, b) = r. Якщо при діленні b на r матимемо остачу 0 < r₁ < r, то b = rq₁+r₁, і тому НСД (а, b) = НСД (b,r) = НСД (r,r₁). Продовжуючи описаний процес, діставатимемо все менші і менші остачі: r, r₁, …, r_m. Зрештою дістанемо остачу, яка ділить попередню остачу. Згідно з лемою 2, ця, відмінна від нуля, остача і є НСД (а, b). Таким чином НСД двох натуральних чисел дорівнює останній, відмінній від нуля остачі в алгоритмі Евкліда для цих чисел.

Алгоритм Евкліда як спосіб послідовного ділення зручно записувати у вигляді многократного ділення кутом.

Знайдемо НСД(90, 35).

_ 90 35 Таким чином,

70 2 90 = 35 ∙ 2 = 20

_35 20

20 1 35 = 20 ∙ 1 + 15

_ 20 15

15 1 20 = 15 ∙ 1 + 5

_ 15 5

15 3 15 = 5 ∙ 3 + 0

0

Отже, остання відмінна від нуля остача дорівнює 5, тому НСД(90, 35) = 5.

Після обчислення за допомогою алгоритму Евкліда НСД двох чисел можна знайти НСК, використовуючи залежність між НСД і НСК. Так, НСК (90, 35) = 90 ∙ 35 : 5 = 630.