6. Ділення цілого невід’ємного числа на натуральне з остачею
Як
відомо, деяке ціле число а
може бути чи не бути кратним натуральному
числу b.
Якщо а
кратне b,
то
.
Якщо а
не кратне b,
то це означає, що при діленні а
на b
з’являється відмінна від нуля і менша
від дільника остача, тобто
,
де
.
Наприклад.
.
Маємо
(остача 3), або
.
Означення.
Говорять, що ціле невід’ємне число а
ділиться на натуральне число
b
з остачею, якщо існують такі цілі
невід’ємні числа
і
,
що
,
де
.
Існування та єдиність неповної частки ( ) і ( ) встановлюється такою теоремою.
Теорема.
Для будь-яких цілого і невід’ємного
числа а
і натурального числа b
існує і причому єдина пара цілих
невід’ємних чисел
і
,
що
,
де
.
Доведення.
Якщо а кратне b, то , а
.Якщо
,
то
,
де
,
бо
.Якщо
і а
не кратне b.
Тоді серед чисел, кратних b,
знайдуться два послідовні числа такі,
що
,
або
.
Віднявши від усіх трьох частин подвійної
нерівності добуток
,
дістанемо:
.
Позначимо
.
Тоді
,
де
.
Доведемо,
що пара чисел
і
єдина для даних чисел а
і b.
Справді, існує ще пара чисел
,
таких, що
,
де
.
Тоді за транзитивною властивістю
рівності маємо
.
Нехай для визначеності
.
Тоді
.
З того, що
і
випливає
.
Отже,
і тому
,
де
.
Тому
,
звідки
.
Теорему доведено.
Теорему про ділення з остачею застосовують в арифметиці і в багатьох інших розділах математики. На ній ґрунтується подання натуральних чисел системними числами, перехід від однієї позиційної системи числення до іншої, алгоритм Евкліда, а також техніка ділення натуральних чисел «кутом».
Ділення
з остачею розглядається ще в початкових
класах. Наприклад,
(1 остача). Тоді
.
Підкреслюється, що обов’язково остача повинна бути меншою від дільника.
Важливість ділення з остачею в тому, що воно лежить в основі алгоритму ділення багатоцифрових чисел.
Тема. Прості задачі на множення та ділення
І. Задачі на розкриття конкретного змісту арифметичної дії:
множення – знаходження добутку як суми однакових доданків:
В трьох однакових коробках лежало по 6 олівців. Скільки всього лежало олівців?
по 6 ол. – 3 к.
? ол.
6 + 6 + 6 = 6 · 3 = 18 (ол.)
ділення – знаходження частки:
1) ділення на рівні частини:
Вчителька поділила 8 зошитів порівну між 4 учнями. Скільки зошитів одержав кожний учень?
по ? з. – 4 уч.
8 з.
8 : 4 = 2 (з.)
2) ділення на вміщення:
Маша розклала 8 кружечків в рядочки по 2 круга в кожному. Скільки рядочків отримала дівчинка?
по 2 кр. – ? р.
8 кр.
8 : 2 = 4 (р.)
ІІ. Задачі на збільшення, зменшення числа в кілька разів у прямій та непрямій формі:
збільшення у прямій формі:
В перший корзині лежить 4 яблука, а в другій – в 3 рази більше. Скільки яблук лежить в другій корзині?
І
.
– 4 ябл.
ІІ. – ? ябл., в 3 рази б.
4 · 3 = 12 (ябл.)
збільшення в непрямій формі:
В Оленки було 5 іграшок, а це в 2 рази менше, ніж у Миколи. Скільки іграшок у Миколи?
О
л.
– 5 ігр., в 2 р. м. або Ол. – 5 ігр.
М. – ? ігр. М. - ?, в 2 рази б.
5 · 2 = 10 (ігр.)
зменшення в прямій формі:
На клумбі виросло 9 білих троянд, а червоних – в 3 рази менше. Скільки червоних троянд виросло на клумбі?
Б . – 9 тр.
Ч. – ? тр., в 3 р. м.
9 : 3 = 3 (тр.)
зменшення в непрямій формі:
В перший рядок поклали 8 квадратиків. Їх в 2 рази більше, ніж трикутників в другому ряду. Скільки поклали трикутників в другому ряду?
К
.
– 8 шт., в 2 р. б. або К. – 8 шт.
Т. – ? шт. Т. – ? шт., в 2 р. м.
8 : 2 = 4 (тр.)
ІІІ. Задачі на кратне порівняння (з питаннями «У скільки разів більше...?», «У скільки разів менше...?»)
1) У Мишка було 18 іграшкових автомобілів та 3 іграшкових літака. У скільки разів більше у хлопчика автомобілів, ніж літаків?
А вт. – 18 шт.
у ? р. б.
Л. – 3 шт.
18 : 3 = 6 (р.)
2) Бабусі 54 роки, а її онучці 9 років. У скільки разів онучка молодша від бабусі?
Б . – 54 р.
у ? р. м.
В. – 9 р.
54 : 9 = 6 (р.)
ІV. Задачі на знаходження числа за однією його частиною та знаходження частини числа:
1) знаходження числа за однією його частиною:
У Маринки половина стрічки має довжину 9 см. Яка довжина всієї стрічки?
9 · 2 = 18 (см)
2) знаходження частини числа:
Було
24 горіхи. Третю частину їх витратили.
Скільки горіхів витратили?
24 : 3 = 8 (г.)