Розділ іі множини, операції над ними. Відношення § 4. Множини, операції над ними

План

1. Поняття множини і елемента множини. Порожня множина. Способи задання множин.

2. Підмножина. Рівні множини. Зображення множин і зв’язків між ними за допомогою кругів Ейлера.

3. Числові множини. Запис числових проміжків.

4. Переріз і об’єднання множин. Закони цих операцій. Доповнення підмножини.

5. Декартів добуток двох множин. Зображення декартового добутку двох числових множин на координатній площині.

6. Поняття розбиття множини на підмножини, що попарно не перетинаються. Класифікація понять. Приклади класифікацій.

1. Поняття множини і елемента множини. Порожня множина. Способи задання множин

Одним із початкових понять, які вивчаються у математиці, є поняття множини. Це поняття можна уявити собі, абстрагуючись від конкретних множин навколишнього світу. Табун коней, караван верблюдів, колона машин – це все приклади конкретних множин. Синонімами поняття «множина» є поняття «сукупність», «клас», «збірка» тощо. Предмети, об’єкти, які містить множина, називають її елементами. Наприклад, дочка, мати є елементами множини сім’я.

Множини позначають великими буквами латинського алфавіту А, В, С, D,…, а елементи множин – малими буквами цього алфавіту – а, b, с, d,... Про елементи даної множини говорять, що вони належать цій множині, і символічно записують так: а Є А. Читають: «елемент а належить множині А» або «множина А містить елемент а».

Означення: Множина, що не містить жодного елемента, називається порожньою множиною. Позначається символом Ø.

Приклад 1: Множина трикутників з двома прямими кутами - порожня.

Приклад 2: Множина коренів рівняння на множині дійсних чисел – порожня.

Задати множини можна двома способами. Найбільш поширеним способом є спосіб переліку їх елементів. Запис А = {a, b, c} означає, що множина А містить три елементи а, b і с, а множина М = {a, b, c, …} крім цих трьох елементів має безліч інших. Другий спосіб: задання множини за допомогою характеристичної властивості (словесно чи символічно). Наприклад, множину натуральних чисел, які діляться на 3, можна записати:

А = {x | xЄN, x 3}. Проте цю множину простіше задати так: {3,6,9,12, …, 3k, …}, тобто переліком елементів.

2. Підмножина. Рівні множини. Зображення множин і зв’язків між ними за допомогою кругів Ейлера

Означення: Підмножиною множини А називається така множина В, кожен елемент якої належить А. Позначається В А.

Будь-яка множина має дві невласні підмножини – саму себе і порожню множину: Ø А і А А.

Означення: Дві множини А і В називаються рівними тоді і тільки тоді, коли вони містять ті самі елементи, тобто коли кожен елемент множини А є також елементом множини В і навпаки. Позначається А=В.

Наприклад, множини А={2, 4, 6} i B={4, 2, 6} рівні між собою, бо містять однакові елементи.

Множини і операції над ними зручно ілюструвати наочно за допомогою кругів Ейлера (або діаграм Ейлера – Венна). Проілюструємо за допомогою кругів Ейлера відношення включення для множин А, В і С, якщо: А – множина трикутників, В – множина рівнобедрених трикутників і С – множина рівносторонніх трикутників.

А

С В