.306.6. Формула Планка.

В 1900г. Планку удалось найти вид функции в точности, соответствующий опытным данным. Но для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии  (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения. А именно: . Здесь  постоянная Планка, =1,05410^-34Джс. , поэтому h=6,6210^-34Джс.

В основе рассуждений, приводящих к определенному Планком виду функции спектрального распределения , лежит выражение для средней энергии излучения с частотой , которая вычисляется согласно следующей формуле:

(*)

Если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, то ее среднее значение было бы равно . В этом можно убедиться, положив , что выполняется тем точнее, чем меньше (т.е., чем больше ).

Заменив в формуле Рэлея-Джинса kT выражением (*), получим формулу, найденную Планком:

Получим выражение для средней энергии излучения частоты , исходя из представлений Планка об испускании электромагнитного излучения в виде квантов энергии.

Если излучение испускается квантами (порциями) , то энергия _n должна быть кратной этой величине, т.е.

, (n=0, 1, 2, 3,…).

Согласно закону Больцмана вероятность P_n того, что энергия излучения имеет величину _n, определяется выражением:

.

Нормировочный множитель A можно найти, исходя из условия, что сумма всех P_n должна быть равна единице. Действительно, сумма P_n представляет собой вероятность того, что энергия имеет одно из возможных для нее значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет вероятность, равную единице. Итак, .

Тогда, найдя значение A, получим, что .

Предположив возможность измерения значения энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени, произведем через равные промежутки времени очень большое число таких измерений N. Разделив сумму полученных значений на число измерений N, найдем среднее по времени значение энергии . При очень большом N количество измерений N_n, которые дадут результат _n, будет равно NP_n. Поэтому

.

Следовательно, среднее значение энергии излучения частоты  будет определяться следующим выражением:

.

Дальнейшие вычисления легко провести, приняв, что , тогда

.

Выражение, стоящее под знаком логарифма, представляет собой сумму членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным единице и знаменателем прогрессии, равным . Поэтому по известной из алгебры формуле . Учитывая этот результат, имеем после дифференцирования

.

Наконец, заменив x его значением , получим окончательное выражение для средней энергии излучения частоты :

.

Переходя к длинам волн формулу Планка можно записать в виде:

.

Заметим, что при выполнении условия квантовая формула Планка переходит в классическую формулу Рэлея-Джинса. Следовательно, условие малости кванта энергии по сравнению с величиной определяет границы применимости классической теории. Если нельзя считать , то использование формулы Рэлея-Джинса незаконно и для описания свойств теплового излучения нужно применять формулу Планка.

Применим формулу Планка для вывода законов Стефана-Больцмана и закона смещения Вина.

1) Энергетическая светимость абсолютно черного тела R_э:

.

Пусть , тогда и . Сделав такую замену, получаем: . Значение интеграла , поэтому . Обозначив , получаем закон Стефана-Больцмана: . А подставив в формулу числовые значения для , k, c, , получаем, что =5,669610^-8Вт/(м²град⁴), что очень хорошо согласуется с экспериментальным значением.

2) Для вывода закона смещения Вина воспользуемся связью между функциями и .

Участку спектра d соответствует интервал длин волн d. Определяющие один и тот же участок спектра величина d и d связаны простым соотношением, вытекающим из формулы: . Дифференцирование дает . Знак ““ можно не учитывать в дальнейших вычислениях, он лишь указывает, что с возрастанием  частота  убывает и наоборот.

Если интервалы d и d относятся к одному и тому же участку спектра, то величины dR_э и dR_ должны совпадать, т.е.

или

()

Для абсолютно черного тела , тогда аналогично формуле () получаем  формулу связи функций и .

Отсюда . Видно, что функция зависит от  и от . Выразим эту функцию через , учтя, что .

Тогда имеем

.

Далее возьмем первую производную функции по  и приравняем ее нулю (условие экстремума).

Удовлетворяющие этому уравнению значения =0 и = соответствуют минимуму функции . Значение _m, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в числителе в квадратных скобках. Обозначим , получим уравнение: .

Решение этого трансцендентного уравнения дает значение x=4,965. Следовательно, . Откуда  закон смещения Вина. Подстановка числовых значений , c, k, дает значение для b=2,910³(мкмК).

Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.

САМОСТОЯТЕЛЬНО: Оптическая пирометрия, Типы пирометров: радиационные, яркостные, цветовые; принцип действия.