Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лаваль.rtf

Скачиваний:

Добавлен:

18.11.2019

Размер:

2.21 Mб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Сопло лаваля

Расчетное задание посвящено исследованию течения газа через сопло Лаваля. Сопло представляет собой канал переменного сечения. Если суживающаяся входная часть канала дополняется расширяющейся выходной частью, и он предназначен для преобразования дозвуковых потоков в сверхзвуковые, то сопло называется соплом Лаваля по имени шведского инженера, впервые применившего такое устройство в качестве направляющего аппарата изобретенной им паровой турбины активного типа.

Движение потока газа в канале переменного сечения для случая одномерного изоэнтропийного течения совершенного (описывается уравнением состояния Менделеева – Клапейрона) газа описывается уравнением Гюгонио (1):

, (1)

где F – площадь поперечного сечения, с – скорость одномерного потока газа, M – число Маха ( a – местная скорость звука.

Для дозвукового потока (M<1) скобка в левой части равенства (1) меньше нуля. При этом скорость, направление которой в одномерном движении совпадает с координатной осью, и площадь поперечного сечения канала – положительные величины. Следовательно, приращения скорости dc и площади сечения dF должны иметь разные знаки. Таким образом, в дозвуковых потоках увеличение площади сечения канала вызывает замедление газа, а уменьшение площади поперечного сечения ведет к ускорению потока, как и в случае течения несжимаемой жидкости.

В сверхзвуковых течениях (M>1) скобка в (1) положительна, поэтому знаки приращений скорости и площади сечения совпадают, так что расширение канала приводит к разгону потока, сужение – к торможению. Этот результат объясняется тем, что при расширении сверхзвукового потока его плотность падает интенсивнее, чем возрастает скорость, в результате чего произведение rF уменьшается вдоль оси канала, несмотря на рост площади.

Если М = 1 (критическое сечение), скобка в уравнении (1) равна нулю, следовательно, и приращение площади поперечного сечения равно нулю: dF=0. Это условие совпадает с необходимым условием экстремума площади сечения. Из сказанного выше очевидно, что критическое сечение будет минимальным.

Таким образом, если скомпоновать сопло из суживающейся входной части и расширяющейся выходной и обеспечить такой режим течения газа, при котором на вход сопла подается дозвуковой поток, в самом узком сечении (оно называется горлом сопла) скорость потока будет равна скорости звука (M = 1). Попадая в расширяющуюся часть сопла, поток будет разгоняться далее, и на выходе возникнет сверхзвуковое течение газа.

Связь между скоростью, давлением, плотностью и температурой в изоэнтропийном движении определяется изоэнтропийными формулами, в которых в качестве параметра используется число Маха или безразмерная скорость l = с/a_кр, где a_кр – скорость звука в критическом сечении, где поток становится звуковым (М = 1), l =1). Число Маха и скоростной коэффициент могут быть выражены друг через друга:

(2)

или

(3)

(4)

Изоэнтропийные формулы:

(5)

(6)

(7)

Здесь t, e, p - безразмерные температура, плотность и давление соответственно. Следует отметить, что для удобства и скорости можно вместо расчета по формулам (5) – (7) использовать таблицы изоэнтропических функций. В этих таблицах задаются с определенным шагом значения параметра М (или l) и приводятся значения t, e, p, рассчитанные по формулам (5) – (7). Как правило, таблицы строятся в предположении, что показатель адиабаты k = 1.4, таким образом, пользоваться табличными данными можно при расчете течения двухатомного газа или смеси двухатомных газов (азот, кислород, фтор, хлор, воздух и т.д.) Если же показатель адиабаты иной (по соплу течет одноатомный (гелий, аргон …) или многоатомный газ), то нужно использовать непосредственно формулы (5) – (7).

Пользуясь изоэнтропийными формулами, можно получить связь параметров торможения с критическими параметрами. Для этого в формулы необходимо подставить М=1 (или l=1):

(8)

(9)

(10)

(11)

Кроме того, запишем выражение критической скорости звука через температуру торможения:

(12)

Пользуясь уравнением неразрывности (условие сохранения массового расхода):

G = rFc = const (13)

и приведенными выше изоэнтропийными формулами, можно получить связь между параметрами одномерного течения и площадью поперечного сечения F, при этом площадь задается как функция продольной координаты (оси канала), F=F(x):

(14)

Отношение площади критического сечения к площади к произвольной площади F=F(x), как легко установить из уравнения неразрывности (13), представляет собой функцию тока – приведенный секундный расход:

(15)

Таким образом, функция тока q в произвольном сечении может быть выражена в зависимости от числа Маха М или безразмерной скорости l:

(16)

Можно выразить приведенный секундный расход q и через безразмерное отношение давлений p, разрешив относительно числа Маха М (или безразмерной скорости l) формулу (7) и подставив результат в (13):

(17)

Функция тока q, как и безразмерные температура, плотность и давление, приводится в таблицах изоэнтропических функций.

Для дальнейших построений, выполняемых в расчетном задании, полезно использовать уравнение неразрывности (13), преобразованное к виду:

(18)

Величина b определяется свойствами среды (показателем адиабаты k и индивидуальной газовой постоянной R) и для выбранного газа является константой. Индивидуальная газовая постоянная выражается через универсальную газовую постоянную и мольную массу:

(19)

К примеру, для воздуха k = 1.4, m @ 29 г/моль, R = 8314/29 = 287 Дж/(кг К), b = 0.0405.

Рассмотрим одномерное адиабатическое изоэнтропическое движение газа в сопле Лаваля. Выберем двухатомный газ в качестве рабочей среды (k=1.4). Зададим массовый расход G через сопло. На входе в сопло (величины, относящиеся к входному сечению, будем помечать индексом 0) зададим два параметра: давление и температуру заторможенного газа: . Выберем также давление в выходном сечении сопла (параметрам на выходе придадим индекс 1).

Выясним, как влияют на режим течения в сопле входное и выходное давления (рис.1). Если входное и выходное давление одинаковы, то никакого движения нет; давление и все остальные параметры по длине сопла одинаковы, скорость, число Маха и скоростной коэффициент равны нулю (линия a на рис.1).

Теперь чуть-чуть уменьшим давление в выходном сечении, тем самым создадим перепад давлений, при этом газ начинает с малой скоростью течь через сопло. Во входной, суживающейся, части дозвуковой поток ускоряется, но, поскольку перепад давлений между входом и выходом мал, скорость звука в горле сопла не достигается, и в расширяющейся части поток газа, оставшийся дозвуковым, снова замедляется. На выходе из сопла имеем дозвуковой поток, (линия b). Еще немного уменьшим выходное давление (малые изменения параметров создают малые возмущения, которые распространяются по газу со скоростью звука). Поток в суживающейся части сопла разгонится до большей скорости, но, если к минимальному сечению скорость звука не достигнута, далее поток вновь начнет замедляться (линия с). Продолжая понижать давление в выходном сечении, при некотором получим режим течения, в котором поток достигает скорости звука в горле сопла, но, «не удержавшись» в сверхзвуковом режиме, в расширяющейся части вновь уходит на дозвуковой режим течения (линия d). Давление слишком велико, чтобы мог реализоваться сверхзвуковой режим течения, однако «достаточно мало», чтобы в минимальном сечении реализовался звуковой режим течения. Начиная с давления , минимальное сечение становится критическим, параметры в нем получают индекс «кр». При выходных давлениях

в сопле наступает так называемый режим запирания; параметры во входной, суживающейся части сопла перестают зависеть от выходного давления и перестают меняться. Картина течения от входного сечения до горла при всех выходных давлениях одинакова (на рис.1 – жирная кривая). Причину этого явления легко объяснить, сравнивая скорость потока в горле и скорость распространения информации об изменении выходного давления. Малые возмущения при изменении давления в выходном сечении распространяются со скоростью звука (во все стороны, в том числе и навстречу потоку, к входному сечению). Если поток навстречу им движется со скоростью, меньшей скоростью звука, то информация о величине выходного давления и, в целом, о параметрах в выходном сечении поступает на вход сопла, оказывая влияние на характеристики течения в суживающейся части сопла. Поэтому на рис.1 кривые а, b, c (соответствующие режимам течения, в которых поток нигде, в том числе и в горле, не достигает скорости звука) во входной части сопла различны, не сливаются в единую линию. Но после того как минимальное сечение становится критическим, информация о тех процессах, которые происходят правее горла (в том числе и на выходе), перестает поступать на вход сопла, так как распространяется со скоростью звука справа налево, а из горла ей навстречу движется поток также со звуковой скоростью, но слева направо; описанное явление и называется запиранием (режимом запирания).

Рассмотрим, как ведет себя газовый поток в сопле при дальнейшем понижении давления на выходе ( ). При некотором, достаточно малом давлении реализуется режим течения, в котором скорость потока непрерывно возрастает от входа к выходу, а давление, напротив, непрерывно падает от до выходного давления, которое принято обозначать

или . Этот режим течения называется расчетным (кривая e). При выходном давлении расчетного режима поток, поступая во входное сечение с дозвуковой скоростью, разгоняется до скорости звука к минимальному (критическому) сечению и продолжает увеличивать скорость, уже в сверхзвуковом диапазоне, в расширяющейся части сопла. В выходном сечении поток имеет безразмерную скорость . В общем случае, для произвольного сопла (не обязательно имеющего расширяющуюся часть) расчетным называется режим течения, в котором скорость плавно и непрерывно растет, а давление монотонно падает от входа к выходу, при этом выходная скорость может быть как меньше, так и больше скорости звука (безразмерная скорость может быть и больше, и меньше единицы). В случае сопла Лаваля в расчетном режиме выходная скорость – сверхзвуковая.

Осталось рассмотреть режимы течения при промежуточных значениях выходного давления (кривые f , g). Выходное давление достаточно низко, чтобы обеспечить скорость звука в минимальном сечении (минимальное сечение является критическим); параметры во входной части сопла неизменны вследствие режима запирания. Поток проходит критическое сечение, переходит к сверхзвуковому режиму течения, скорость его растет, давление падает. Продолжая разгоняться в сверхзвуковой части сопла, поток к выходному сечению уменьшит давление до расчетного значения . Однако на выходе задано давление , которое больше давления расчетного режима, следовательно, в какой – то момент падение давления должно смениться его ростом, плавным или скачкообразным. Увеличение давления в потоке, согласно уравнению Бернулли, соответствует уменьшению его скорости. Но скорость сверхзвукового потока в расширяющемся канале не может уменьшаться, она растет с ростом площади сечения канала (уравнение Гюгонио (1)). Возникшее противоречие разрешается следующим образом: в расширяющейся части сопла происходит скачок уплотнения (в рамках нашей упрощенной, одномерной постановки задачи, скачок полагаем прямым). После прямого скачка уплотнения поток становится дозвуковым. Скорость дозвукового потока в расширяющемся канале падает, давление его растет. Местоположение скачка определяется выходным давлением: растущее после скачка давление должно к выходному сечению достигнуть заданной величины .

В расчетной работе предполагается построение (профилирование) сопла Лаваля, работающего при заданном соотношении входных параметров и противодавления в расчетном режиме; исследование путем построения расходной характеристики поведения потока в сопле в нерасчетных режимах в диапазоне выходных давлений , и расчет режима течения со скачком уплотнения при .