1. Физические основы механики Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси х:

x = (t), (1.1)

где (t) - некоторая функция времени.

Средняя скорость

(1.2)

Средняя путевая скорость:

’ (1.3)

где - путь, пройденный точкой за интервал времени .

Путь в отличие от разности координат = x₂ - x₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. 0.

Мгновенная скорость:

(1.4)

Среднее ускорение:

(1.5)

Мгновенное ускорение:

(1.6)

Кинематическое уравнение движения материальной точки по ок­ружности:

 =  (t), r = R = const (1.7)

Угловая скорость:

(1.8)

Связь между угловой скоростью, числом оборотов и периодом вращения:

(1.9)

Угловое ускорение:

(1.10)

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующи­ми движение точки по окружности:

, , , (1.11)

где - линейная скорость; и - тангенциальное и нормальное ускорения; - угловая скорость; - угловое ускорение; R - радиус окружности.

Полное ускорение:

или . (1.12)

Угол между полным и нормальным ускорениями:

(1.13)

Импульс материальной точки массой m , движущейся поступательно со скоростью :

(1.14)

Второй закон Ньютона:

(1.15)

где - сила, действующая на тело.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

, (1.16)

где k – коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость); x – абсолютная деформация;

б) сила тяжести

; (1.17)

в) сила гравитационного взаимодействия

, (1.18)

где G – гравитационная постоянная ; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки).

В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность гравитационная поля:

; (1.19)

г) сила трения (скольжения)

F=fN, (1.20)

где f – коэффициент трения; N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса:

, (1.21)

или для двух тел (i=2):

, (1.22)

где и - скорость тел в момент времени, принятый за начальный; и - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:

или . (1.23)

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

, (1.24)

где k – жесткость пружины; x – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

, (1.25)

где G – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = mgh, (1.26)

где g – ускорение свободного падения; h – энергия тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии:

E=T+П=const. (1.27)

Работа постоянной силы на пути S

, (1.28)

где - угол между направлением силы и направлением перемещения.

Работа переменной силы на участке траектории от точки 1 до точки 2

. (1.29)

Работа А, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы:

. (1.30)

Мощность

или (1.31)

Основное уравнение вращательного движения относительно неподвижной оси Z:

, (1.32)

где M_z – результирующий момент сил относительно оси Z, действующих на тело; – угловое ускорение; I_z – момент инерции тела относительно оси вращения.

Момент инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню,

; (1.33)

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

, (1.34)

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

. (1.35)

Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z:

, (1.36)

где - угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси:

, (1.37)

где , и , - моменты инерции системы тел и угловые скорости вращения в моменты времени, принятые за начальный и конечный.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z:

или . (1.38)

Длительность событий в разных системах отсчета:

. (1.39)

Длина тел в разных системах отсчета:

. (1.40)

Закон сложения скоростей

, (1.41)

где U – скорость материальной точки относительно неподвижной системы отсчета K; U' – скорость материальной точки относительно подвижной системы отсчета K' ; v – скорость системы K' относительно системы K.

Релятивистская масса:

или , (1.42)

где m₀ – масса покоя частицы; v – её скорость; c – скорость света в вакууме; - скорость частиц, выраженная в долях скорости света ( ).

Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы:

E=mc² или , (1.43)

где E₀=m₀c² – энергия покоя частицы:

Полная энергия свободной частицы:

E=E₀+T, (1.44)

где T – кинетическая энергия релятивистской частицы.

Кинетическая энергия релятивистской частицы:

T=(m-m₀)c² или . (1.45)

Импульс релятивистской частицы:

или . (1.46)