1.4.1. Пример проведения оптимизации сетевой модели по критерию «Трудовые ресурсы»

Допустим, что предприятие, выполняющие проект, имеет в распоряжении только пять конструкторов. Но в соответствии с графиком загрузки (рис. 4) в течении интервала времени с 6 по 8 день для выполнения проекта требуется работа одновременно 6-ти человек.

Таким образом, возникает необходимость снижения максимального количества одновременно занятых исполнителей с 6 до 5 –ти человек. Так, более позднее выполнение работы 1.7, (не с 6-го, а с 26-го дня, что допускает резервы времени), позволяет сократить общее число конструкто­ров с 6-ти до 5-ти. Так же используются свободные резервы времени работ 4-6, 5-6, которые сдвигаются на более позднее время их начала. (рис.5-первый этап оптимизации)

Кроме того, за счет использования полных резервов, с целью снижения численности других категорий работников сдвигаются следующие работы: 2-4, 2-5(рис. 6 –второй этап оптимизации)

На рис.5 и 6 представлены первый и второй этап оптимизации сетевого графика.

Рис. 4 Карта проекта к исходному сетевому графику

(график использования трудовых ресурсов)

Рис. 5 Карта проекта к оптимизированному сетевому графику

(1 этап оптимизации)

Рис. 6 Карта проекта к оптимизированному сетевому графику

(2 этап оптимизации)

2. Определение оптимальной производствен­ной мощности (задание 2)

На основе исходных данных определить оптимальное использование производственных мощностей оборудования каждой группы по выпуску заданной номенклатуры изделий. В качестве исходных данных даются:

• три группы взаимозаменяемого оборудования (w= 1,2,3) для производства трех видов изделий ( i=1,2,3);

• трудоемкости (t_ijw) обработки изделий по группам оборудо­вания в зависимости от применяемых технологий (j=1.2,3);

• эффективный фонд времени работы оборудования (F_w);

• прибыль от реализации единицы производимой продукции (П_ij).

Исходные данные приведены в приложении Г, таблица №4. (вторая часть МУ)

Оптимальное использование производственных мощностей по группам оборудования может быть найдено из решения следующей задачи линейного программирования.

Максимум целевой функции определяется:

, (9)

(10)

При ограничениях:

1) (11)

2) (12)

где: x_ij - искомые переменные - производственная мощность оборудования по производству изделия i-го вида, при использовании j-й технологии, шт/год; Qi - производственная программа предприятия по произ­водству изделий i-го вида (i=1 ,n; j=1 ,m).

Первое ограничение отражает требование выполнения за­данной производственной программы по всей номенклатуре из­делий, второе - учитывает имеющиеся мощности по каждой группе оборудования.

При несовместимости ограничения, т.е. невозможности выполнения заданной программы на имеющихся мощностях, могут быть выявлены лимитирующие (дефицитные) группы оборудования - «узкие места». Они определяются из решения двойной задачи:

; (13)

При ограничениях

1) (14)

2) (15)

(16)

где u_w,v_i - двойственные оценки, причем u_w - оценка дефицитности w-й группы оборудования ( ) а v_i -«неявная цена» изделия i-го вида.

Обозначим через xij - искомые переменные, т.е. производ­ственная мощность оборудования по производству изделий i-го вида при использовании j- й технологии.

Математически задача оптимизации использования произ­водственной мощности формулируется следующим образом: найти значения переменных хij (i=1,2,3; j=1,2,3), составляющие максимум целевой функции Z вида:

(1*)

при ограничениях:

2 х11 + 2х12 + х13 + Зх21 + 4x23 + Зx31 + 3x32 20 ,

3 х11+ х12 + 2х13 + х21 + 2x22 + 5 x31+ 6x32 34, (2*)

x12 + 3x13 + 2x21 + 3x22 + x23 + x31 48,

хij 0 (i,j=1,2,3). (3*)

Э та задача является задачей линейного программирова­ния. Чтобы привести ее к канонической форме, добавим неот­рицательные переменные x₁, x₂, x₃ соответственно к каждому из неравенств системы (2*), получим систему уравнений:

2 x 11 + 2 x 12 + х13 + 3 х 21 + 4 x23 +3 x31+3x32+х1= 20

3 х11+ х12 + 2х13 + х21 + 2x22 + 5 x31+ 6x32+х 2= 34

x12 + 3x13 + 2x21 + 3x22 + x23 + x31+х3= 48,

которая приведена к единичному базису, содержащему пере­менные x₁, x₂, x₃. Остальные переменные - свободные. В функ­ции цели Z перенесем свободные переменные в левую часть ра­венства. Полученный первый опорный план занесем в симплекс­ную таблицу 1*.

Симплексная таблица 1*

№ п/п	Базисные перемен­ные	Свобод­ные чле­ны (значения базис­ных пе­ремен­ных)	x	x		x	x	x	x	x	x	x	x	x
1 2 3	x x x	20 34 48	2 3 0	2 1 1	1 2 3		3 1 2	0 2 3	4 0 1	3 5 1	3 6 0	1 0 0	0 1 0	0 0 1
4	Z(х1)	0	-11	-7	-5		-9	-6	-7	-18	-15	0	0	0

Первый опорный план х1 не оптимальный тат как в индексной строке 4 находятся отрицательные коэффициенты: (-11,-7………..-15)выбираем из них максимальную по абсолютной величине отрицательную оценку.

Алгоритм выполнения следующих симплексных преобразований в программе EXCEL представлен в приложении Д.

После выполнения ряда симплексных преобразований придем к решению, представленному в симплексной таблице 2*.

Симплексная таблица 6

№ п/п	Базис вые пере­мен­ные	Сво­бод­ные чле­ны	XI1	XI2	Х13	Х21	Х22	Х23	Х31	Х32	XI	Х2	ХЗ
1 2 3	x x x	10 12 2	1 1 -4	1 0 0	0.5 0.75 0.25	1.5 -0.5 1.25	0 1 0	2 -1 2	1.5 1.75 -5.75	1.5 2.25 -8.25	0.5 -0.25 0.25	0 0,5 -1.5	0 0 1
4	Z (х6)	142	3	0	3	0	0	1	2	9	2	3	0

Следовательно, оптимальная мощность, определенная из решения этой задачи, достигается с применением второй техно­логии для обработки изделий первого наименования в количе­стве 10 ед. (т.к. Х₁₂=10) и для изделий второго наименования при той же технологии в количестве 12 ед. (Х₂₂=12).

Наличие среди базисных переменных дополнительной пе­ременной x = 2, говорит о том, что фонд времени работы обо­рудования третьей группы недоиспользован на x = 2 ед. При­быль от реализации составит 142 ед.

В индексной строке 4 в таблице 2* в столбце переменной х₂₁ не вошедшей в состав базисных переменных, получена нуле­вая оценка, поэтому оптимальный план не является единствен­ным. Выполнив однократное замещение базисной переменной, при котором x войдет в состав базисных переменных вместо х₃, получим новый оптимальный план, при котором х₁₂ = 38/5=7,6 ед., x = 22/5=12,4 х₂₁ = 8/5=1,6 ед.; при этом прибыль от реализации готовой продукции также 142 ед.

Так как получены два оптимальных решения х¹ и х² , можно составить общее решение в виде:

Х_общ⁼а х¹ +(1- а) х²

где: х¹ = (0, 10, 0, 0, 12, 0, 0, 0),

х² =(0; 7,6; 0; 1,6; 12,4; 0, 0, 0), -

0 α 1,

т.е. х_о6щ=(0; 2,4-7,6 α; 0; 1,6(1-α); 12,4-0,4α; 0; 0; 0)

Общее решение-оптимальней мощности (при различных значениях α), при этом прибыль от реализации одна и та же и равна 142 ед.

Следует обратить внимание на тот факт, что несмотря на высокую (по сравнению с другими видами) прибыль от реализа­ции изделий третьей группы, эти изделия не вошли в оптималь­ный план, что можно было ожидать, так как изделия третьей группы требуют больших затрат фонда времени работ на свое производство.

С целью выявления «узких мест», т.е. лимитирующих (дефицитных) групп оборудования, в наибольшей степени ограничивающих возможности выполнения программы, решается двойственная задача.

Определить значения переменных u u u , составляющих минимум целевой функции Т вида:

Т =20u₁+34u₂+48u₃ min

При ограничениях:

2u1 + 3u2 11; 2 u1+ u2+u3 7; u1 + 2 u2 5; 3 u1+ u2+ 2u3 9;

2u2+ 3u3 6; 4 u1+ u3 7;

3u1+5 u2+u3 18; 3 u1+ 6 u2 15;

uк 0 (K =1,2,3)

где. u - оценка дефицитности k-й группы оборудования (k=1,2,3).

Решение двойственной задачи определим из той же сим­плексной таблицы 2* из индексной строки 4, установив сопря­женные пары переменных прямой и двойственной задач, учиты­вая, что дополнительным переменным x₁, x₂, х₃ в исходной за­даче соответствуют основные переменные u₁, u₂, u₃ двойствен­ной задачи, поэтому u₁ =2; u₂ =3; u₃=0.

Первые две оценки показывают, что увеличение на едини­цу фонда времени работы оборудования первой группы приве­дет к увеличению значения целевой функции Z_max на 2 едини­цы; для оборудования второй группы увеличение фонда време­ни на единицу соответственно увеличивает Z_max на 3 ед., а для оборудования третьей группы увеличение фонда времени не окажет никакого влияния на значение Z (т.к. ресурс этого вида и так имеется в избытке).