Содержание

Введение 5

Глава 1 Случайные числа 7

1.1 Вероятность. Случайные величины с дискретным и непрерывным распределением 7

1.2 Получение и тестирование случайных чисел. 9

1.3 Преобразование случайных величин [3,5] 14

Глава 2 Статистическое моделирование структуры материалов 18

2.1 Основные представления о структуре стекла 18

2.2 Характеристики структуры. Статистические структурные модели 20

2.3 Релаксация структурных моделей методом Монте-Карло 24

2.4 Применение метода молекулярной динамики для моделирования структуры стекла и его физических параметров. 32

2.5 Неупорядоченная плотнейшая упаковка шаров. 39

2.6 Модель неупорядоченной сетки связей 45

2.7 Проблемы моделирования спектров лазерных материалов, активированных ионами РЗЭ. 49

2.8 Расчёты штарковской структуры спектров РЗЭ на основе кластерной стохастической модели. 56

2.9 Статистическое моделирование самоорганизации линейных дислокаций 65

Глава 3 Статистическое моделирование трансформации возбуждений в материалах фотоники 76

3.1 Процессы безызлучательной передачи возбуждений между оптическими центрами и их экспериментальные проявления 76

3.2 Микроскопическая модель передачи возбуждений для пары центров 80

3.2 Макроскопический подход. Метод балансных уравнений 83

3.4 Спектральная миграция. Моделирование на основе балансных уравнений. 85

3.5 Статистическое моделирование спектральной миграции методом Монте-Карло 95

3.6 Моделирование методом Монте-Карло ап-конверсионного тушения люминесценции эрбиевых лазерных стёкол. 104

3.7 Моделирование концентрационной деполяризации люминесценции 110

Заключение 116

Литература 118

Приложение 121

Введение

Подход к решению проблем, возникающих при интерпретации и прогнозировании свойств оптических материалов, решающим образом зависит от того: обладает рассматриваемая система упорядоченностью и симметрией, или нет. В физике твёрдого тела разработано множество эффективных методов, основанных на симметрии. Их использование позволило достигнуть для кристаллов детального понимания энергетической схемы и спектров во всём оптическом диапазоне. Неупорядоченные системы при рассмотрении оптических материалов встречаются не реже, чем упорядоченные. Во-первых, к ним относятся стёкла и аморфные материалы. Во-вторых, разупорядоченные кристаллы, в которых часть узлов заполняется статистически. В-третьих, в случае кристаллов неупорядоченные системы образуют хаотически расположенные дефекты и возбуждения локальных оптических центров. Для всех неупорядоченных систем не работают эффективные методы, основанные на симметрии.

Продвинутся в понимании свойств неупорядоченных систем позволяет моделирование, которое при этом приобретает вполне определённую специфику. Дело в том, что неупорядоченные материалы на микроскопическом уровне принципиально неоднородны. Например, разные участки макроскопически однородного оптического стекла на микроскопическом уровне различаются по структуре. Поэтому все макроскопические характеристики неупорядоченных систем являются результатом усреднения, а для их получения надо применять статистические методы. Моделирование неупорядоченных систем является с необходимостью статистическим.

Статистическое моделирование представляет в настоящее время обширный комплекс активно развивающихся методов, нашедших применение в разнообразных разделах науки, техники, экономики, медицины и т.д. В настоящее пособии под статистическим моделированием понимается численный метод решения различных задач при помощи моделирования случайных событий, метод исследования физического процесса путём создания и эксплуатации стохастической модели, отражающей динамику данного процесса [1-7]

В пособии рассматриваются две группы статистических моделей.

Первую группу составляют структурные модели неупорядоченных систем, среди которых наиболее важны стёкла и аморфные материалы. В основе моделирования лежит предположение, что моделируемая структура полностью определяется парным взаимодействием составляющих её частиц. В одной из моделей в роли частиц выступают дислокации. Во всех остальных – отдельные атомы. Выражение для энергии парного взаимодействия задаётся в явном виде на основе имеющихся физических представлений. Большинство расчётов проводилось на основе предположения об ионном парном взаимодействии, которое описывалось потенциалом Борна-Майера.

Важно отметить, что имеющиеся в настоящее время аналитические теории не позволяют предсказать структуру неупорядоченной системы на основе заданного выражения для парного взаимодействия. Это позволяют сделать только статистические модели.

Структурные модели совершенно необходимы для интерпретации и прогнозирования спектров оптических материалов, которые являются их важнейшей характеристикой. Это относится как к спектрам поглощения, так и спектрам люминесценции, как спектрам, связанным с колебательными переходами, так и с электронными. Примеры расчёта спектров разной природы на основе стохастических моделей приведены в разделе 2

Вторую группу моделей, рассматриваемых в настоящем пособии, составляют модели, симулирующие процессы в кристалле или стекле, происходящих после поглощения кванта света оптическим центром. Таких процессов, обычно, несколько. Возбуждённый атом может вернуться в основное состояние, испустив квант люминесценции, или отдав энергию возбуждения решётке, или передав её другому центру и т.п. Полученные на основе микроскопической теории выражения, описывающие вероятность каждого из этих процессов для пары центров, и численные значения входящих в них параметров задаются при моделировании исходно. Все процессы трансформации возбуждений носят вероятностный характер. Судьба отдельных возбуждений различна. Интерес представляют усреднённые макрохарактеристики этих процессов, так как именно они должны сравниваться с результатами реального эксперимента. Например, квантовый выход люминесценции, время затухания люминесценции, коэффициент усиления и т.п.

Две вышеназванные группы моделей решают проблемы, которые имеют следующие общие черты.

(а) За исключением простейших случаев, они не имеют аналитических решений.

(б) В обеих групп моделей речь идёт о рассмотрении большого числа элементарных процессов, или элементарных взаимодействий, микроскопическую теорию которых можно считать вполне разработанной.

(в) Сложности получения аналитических решений возникают при усреднении микрохарактеристик для получения макроскопических параметров, которые измеряются экспериментально.

Эти сложности позволяет обойти статистическое моделирование, которому посвящено настоящее пособие.