2.1 Расчет балок на прочность и жесткость

2.1. . Проектирование стальной балки в пяти вариантах

Поперечного сечения

2.1.1 Построение эпюр Q_{y ,} М_{x .}

2.1.2 Спроектировать стальную балку (рис.2.1) в 5 вариантах поперечного сечения: круглого, прямоугольного(h/b=2),двутаврового, из двух швеллеров и двух равнобоких уголков, приняв допускаемое напряжение []=160МПа.

2.1.3 Оценить экономичность всех пяти сечений и начертить их в одном масштабе. 2.1.4 Для балки двутаврового профиля построить эпюры нормальных и касательных напряжений, а также исследовать аналитически и графически напряженное состояние в точке К (табл.2.1)опорного сечения.

Таблица 2.2

Исходные данные для расчета

Вариант		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		3	2	4	1	3	2	4	3	2	1
		1	3	2	4	2	4	1	3	2	3
q, кН/м		12	20	16	18	14	15	10	22	20	12
а, м		1.0	0.8	1.2	1.0	1.2	1.2	1.0	0.8	1.0	1.5
l/[f]		500	600	800	1000	900	800	1000	600	800	500

Таблица 2.3

Номер схемы (рис. 14.9)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
yК / h	0,1	0,2	0,25	0,3	0,4	-0,1	-0,2	-0,25	-0,3	-0,4

2.2.

Подобрать сечение балки(рис.2.3),удовлетворяющее условиям прочности и жесткости и допускаемое напряжение материала определяется исходя из диаграммы растяжения, выдаваемой преподавателем. Исследование перемещений выполнить тремя методами:

- пользуясь методом начальных параметров, определить прогибы и углы поворота сечений балки с координатами z = 0, a, 2а, 3а, 4а, 5а; изобразить изогнутую ось балки и показать на ней найденные перемещения;

- определить прогибы в середине пролета и на концах консолей, а также углы поворота на опорах энергетическим методом.

- используя любой численный метод (МКР или МКЭ), определить перемещения в 25…30 точках с применением ЭВМ.

2.1 Проектирование стальной балки в пяти вариантах поперечного сечения

2.1.1. Построение эпюр Q_y и M_x. Опорные реакции

Y_i = 0,

m_A = 0,

Эпюра Q_y. Она строится по формуле Q = Q_O  qz. В данном случае следует взять знак ”минус”, так как погонная нагрузка направлена вниз. Поперечная сила постоянна на участках АВ, ВС, CD (q = 0) и изображается наклонной прямой на участке DE (q = const). Вычисляем значения Q_y в характерных точках

Q_A = R_A = 2qa, Q_AB = Q_A - qa = qa, Q_B = Q_AB = -qa,

Q_CD = Q_C - qa = 0 и строим ее эпюру.

Эпюра М_x. Она строится по формуле M_x = M_О + Q_Oz – 0,5qz². Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону на участке DE (q = const) и по линейному закону – на всех остальных участках, где q = 0. По значениям момента в характерных точках

M_A = -4qa², M_AB = M_A +2 qaa = -2qa²,

M_BC = M_AB - qaa = -3qa², M_CD = M_CB - qa² = -4qa²,

строим эпюру M_x. Расчетный изгибающий момент равен

М_рас = М_A = 4qa² = 86,4 кНм.

2.1.2. Подбор сечений. Из условия прочности по нормальным напряжениям _max = M_рас / W_x  [] определяем требуемый момент сопротивления поперечного сечения

W_x  M_рас / [] = 540 см³,

по которому подбираем конкретные сечения.

Круг: W_x = d³ / 32,

см.

Принимаем по ГОСТ 6636-86 нормализованное значение d_o = 180 мм, тогда см².

Прямоугольник (h / b = 2): W_x = b(2b)²/6 = 2b³/3,

см.

Ближайшее меньшее стандартное значение равно b_o = 90 мм. При этом балка будет работать с перенапряжением, равным

,

что недопустимо. Поэтому принимаем ближайший больший размер b_o = 95 мм, для которого см².

Двутавр. По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр №30a, для которого см³, А₃ = 49,5 см².

Два швеллера. По ГОСТ 8240-89 выбираем два швеллера №22a, для которых см³, А₄ = 232,9 = 65,8 см².

Неравнобокие уголки. Они находятся подбором, так как в сортаменте не даны значения момента сопротивления. Используя формулу W_x = 2I_x / y_наиб = 2I_x / (B – y_o), сделав несколько попыток, выбираем два уголка 25016012, для которых см³, А₅ = 271,1 = 142.2 см².

2.1.3. Оценка экономичности подобранных сечений. Масса балки определяется как произведение плотности материала на ее объем m = Al, т.е. расход материала при прочих равных условиях зависит только от площади поперечного сечения А. Сравнивая массы балок

m₁ : m₂ : m₃ : m₄ : m₅ =

= A₁ : A₂ : A₃ : A₄ : A₅ = 1 : 0,71 : 0,19 : 0,26 : 0,55,

заключаем, что самым неэкономичным является круглое сечение. При замене круга другими формами (прямоугольник, двутавр, два швеллера, два уголка) достигается экономия, равная соответственно 71%, 19%, 26% и 55%.

2.1.4. Исследование напряжений в опорном сечении для балки двутаврового профиля №30a, параметры которой по ГОСТ 8239-89 равны:

h = 30 см, b = 14,5 см; d = 0,65 см; t = 10.7 см;

I_x =7780 cм⁴; S_x = 292 cм³.

Внутренние силовые факторы в опорном сечении А:

Q_A = qa = 151.2 = 18 кН;

М_А = -4qa² = -4151.2² = -86.4 кНм.

Эпюра . Нормальные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону _z = (M_x / I_x)y. Вычисляем напряжения в крайних точках

_max = -_min = M_x / W_x = 86,410³ / 54010^-6 = 160 МПа

и строим эпюру .

Эпюра . Она строится по формуле Журавского

.

Находим значения  в 4 характерных точках по высоте сечения (необходимые вычисления представлены в табл. 14.8) и строим эпюру касательных напряжений.

Таблица 14.8

№ точек	bi, см	, см3			i, МПа	max
1, 1	14,5	0	0	0	0
2, 2	14,5	159	10,9	0,0014	0,002
3, 3	0,65	159	244,6	0,0051	0.044
4	0,65	292	449,2	1,0	10

Определение главных напряжений в точке К (y_к = -0,1h):

• напряжения в поперечном сечении

_к = (M_A / I_x)y_к = (-86,410³ / 778010^-8)(-0,1)2710^-2 = -29 МПа,

_к = Q_A/(b_кI_x) = 1510³29210^-6/(0,6510^-2778010^-8) = 8,6 МПа;

• величины главных напряжений

,

₁ = 2,35 МПа; ₃ = -31,35 МПа;

2.2. Проектирование балки из заданного материала

по условиям прочности и жесткости

2.2.1. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента. Опорные реакции

m_B = 0, R_A3a - q3a2.5a – qa a + 0.5qa², R_A = 2qa;

Y_i = 0, -R_A + q3a + qa + R_B = 0, R_B = -2qa.

Эпюра Q_y. Поперечная сила изменяется на обоих участках по линейному закону и принимает в характерных точках следующие значения:

Q_O = 0, Q_OA = Q_O + qa = qa,

Q_A = qa - 2qa = -qa, Q_AC = Q_A +2qa²= 3qa, Q_B = qa - 2qa = -qa,

Q_D = -qa + qa = 0.

Эпюра М_x. Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону, принимая экстремальные значения в сечениях z = 2a и z = 7a. По значениям момента в характерных точках

M_O = 0, M_OA = 0.5qa², = M(2a) = 0.5qa²-0.5qa² = 0,

M_C = 0 – 0.5qa² = -0.5qa²,

M_C= M + 0,5qa= 0 M_B = 0 – qa² = qa² ,M_D = qa² – qa² = 0

строим эпюру М_x, из которой находим расчетный изгибающий момент (рис. 14.21)

М_рас = qa² = 151.2² = 21.6 кНм.

2.2.2. Определение перемещений.

Для определения упругих перемещений в инженерной практике применяются как аналитические (точные и приближенные), так и графические методы. Из точных аналитических методов следует отметить метод начальных параметров и энергетический метод. К приближенным относятся метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Ниже определяются линейные и угловые перемещения сечений балки тремя из указанных выше методов.

Метод начальных параметров.

Из граничных условий задачи имеем: v_A = 0, v_B = 0.

,

,

А теперь находим искомые перемещения:

• сечение z = a

- сечение z = 2a

,

- сечение z = 3a

,

- сечение z = 4a

,

,

- сечение z = 5a

,

.

Результаты вычислений сведем в табл. 2.1 и построим упругую линию балки, показанную на рис. 14.21 пунктиром

Таблица 2.1

Перемещения	Сечение z
	0	а	2а	3а	4а	5а
(qa3/EIx)-1	4/9	5/8	1/19	-1/18	-5/9	-19/18
v(qa4/EIx)-1	-29/72	0	11/72	2/9	0	-8/9

Для расчета балки на жесткость необходимо знать максимальный прогиб, который имеет место в сечении, где угол поворота равен нулю. Последний описывается полиномом 3-й степени и в связи с этим нахождение максимального прогиба связано с громоздкими вычислениями. С другой стороны, судя по приведенной выше таблице, он имеет место в интервале (6а, 7а). В силу непрерывности функции прогибов v_max мало отличается от прогиба сечения С. Следовательно, с небольшой погрешностью (не превышающей точности инженерных расчетов) можно принять

v_max  v_D = -8/9qa⁴/(EI_x).

Энергетический метод.

Искомые перемещения находятся с помощью интегралов Мора

,

для вычисления которых в простых случаях можно пользоваться правилом Верещагина

.

В сечениях, где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента. В сечениях, где ищется угол поворота, прикладываем единичный момент и строим от нее эпюру изгибающего момента. Необходимые расчеты представим в виде таблицы 2.2

Знак ”минус ” у перемещения указывает, что оно противоположно направлению соответствующего единичного фактора: единичных сил для прогибов сечения O,D и единичного момента для угла поворота сечения B,т.е. прогибы направлены вверх, а сечение B поворачивается против часовой стрелки. Знак “плюс” у угла поворота указывает, что сечение A поворачивается в направлении единичного момента, т.е. по часовой стрелке.

Таблица2,2

Прогибы
сечение	№ части	1	2	3	4	5
-		1/6	1/6	1/6	½	½	-
O		-3/4	-11/12	-5/12	-1/9	0
		-1/8	-11/72	-5/72	-1/18	0
D		0	-1/12	-7/12	-8/9	-2/3
		0	-1/72	-7/72	-8/18	-1/3
C		0	1/12	7/12	2/9	0
		0	1/72	7/72	2/18	0
Углы поворота
сечение	№ части	1	2	3	4	5
-		1/6	1/6	1/6	½	½	-	-
A		0	11/12	5/12	1/9	0
		0	11/12	5/12	1/18	0
B		0	-1/12	-7/12	-8/9	0
		0	-1/12	-7/12	-8/18	0

Расчет на ЭВМ методом конечных элементов.

Исходные данные вводятся в безразмерной форме:

, , .

Результатом расчета являются относительные вертикальные перемещения (прогибы)

.

Из рис. 14.22 следует, что наибольший прогиб имеет место в интервале 2 <  < 3 вблизи от сечения, где возникает наибольший изгибающий момент, и равен

.

Подбор сечения балки по условиям прочности и жесткос

Из условия прочности имеем

_max = M_max / W_x  [].