Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Курсовая работа [вариан 8] / Задания и расчеты 2.doc
Скачиваний:
103
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
318.98 Кб
Скачать

2.1 Расчет балок на прочность и жесткость

2.1. . Проектирование стальной балки в пяти вариантах

Поперечного сечения

2.1.1 Построение эпюр Qy , Мx .

2.1.2 Спроектировать стальную балку (рис.2.1) в 5 вариантах поперечного сечения: круглого, прямоугольного(h/b=2),двутаврового, из двух швеллеров и двух равнобоких уголков, приняв допускаемое напряжение []=160МПа.

2.1.3 Оценить экономичность всех пяти сечений и начертить их в одном масштабе. 2.1.4 Для балки двутаврового профиля построить эпюры нормальных и касательных напряжений, а также исследовать аналитически и графически напряженное состояние в точке К (табл.2.1)опорного сечения.

Таблица 2.2

Исходные данные для расчета

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3

2

4

1

3

2

4

3

2

1

1

3

2

4

2

4

1

3

2

3

q, кН/м

12

20

16

18

14

15

10

22

20

12

а, м

1.0

0.8

1.2

1.0

1.2

1.2

1.0

0.8

1.0

1.5

l/[f]

500

600

800

1000

900

800

1000

600

800

500

Таблица 2.3

Номер

схемы

(рис. 14.9)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

yК / h

0,1

0,2

0,25

0,3

0,4

-0,1

-0,2

-0,25

-0,3

-0,4


2.2.

Подобрать сечение балки(рис.2.3),удовлетворяющее условиям прочности и жесткости и допускаемое напряжение материала определяется исходя из диаграммы растяжения, выдаваемой преподавателем. Исследование перемещений выполнить тремя методами:

- пользуясь методом начальных параметров, определить прогибы и углы поворота сечений балки с координатами z = 0, a, 2а, 3а, 4а, 5а; изобразить изогнутую ось балки и показать на ней найденные перемещения;

- определить прогибы в середине пролета и на концах консолей, а также углы поворота на опорах энергетическим методом.

- используя любой численный метод (МКР или МКЭ), определить перемещения в 25…30 точках с применением ЭВМ.

2.1 Проектирование стальной балки в пяти вариантах поперечного сечения

2.1.1. Построение эпюр Qy и Mx. Опорные реакции

Yi = 0,

mA = 0,

Эпюра Qy. Она строится по формуле Q = QOqz. В данном случае следует взять знак ”минус”, так как погонная нагрузка направлена вниз. Поперечная сила постоянна на участках АВ, ВС, CD (q = 0) и изображается наклонной прямой на участке DE (q = const). Вычисляем значения Qy в характерных точках

QA = RA = 2qa, QAB = QA - qa = qa, QB = QAB = -qa,

QCD = QC - qa = 0 и строим ее эпюру.

Эпюра Мx. Она строится по формуле Mx = MО + QOz – 0,5qz2. Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону на участке DE (q = const) и по линейному закону – на всех остальных участках, где q = 0. По значениям момента в характерных точках

MA = -4qa2, MAB = MA +2 qaa = -2qa2,

MBC = MAB - qaa = -3qa2, MCD = MCB - qa2 = -4qa2,

строим эпюру Mx. Расчетный изгибающий момент равен

Мрас = МA = 4qa2 = 86,4 кНм.

2.1.2. Подбор сечений. Из условия прочности по нормальным напряжениям max = Mрас / Wx  [] определяем требуемый момент сопротивления поперечного сечения

WxMрас / [] = 540 см3,

по которому подбираем конкретные сечения.

Круг: Wx = d3 / 32,

см.

Принимаем по ГОСТ 6636-86 нормализованное значение do = 180 мм, тогда см2.

Прямоугольник (h / b = 2): Wx = b(2b)2/6 = 2b3/3,

см.

Ближайшее меньшее стандартное значение равно bo = 90 мм. При этом балка будет работать с перенапряжением, равным

,

что недопустимо. Поэтому принимаем ближайший больший размер bo = 95 мм, для которого см2.

Двутавр. По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр №30a, для которого см3, А3 = 49,5 см2.

Два швеллера. По ГОСТ 8240-89 выбираем два швеллера №22a, для которых см3, А4 = 232,9 = 65,8 см2.

Неравнобокие уголки. Они находятся подбором, так как в сортаменте не даны значения момента сопротивления. Используя формулу Wx = 2Ix / yнаиб = 2Ix / (Byo), сделав несколько попыток, выбираем два уголка 25016012, для которых см3, А5 = 271,1 = 142.2 см2.

2.1.3. Оценка экономичности подобранных сечений. Масса балки определяется как произведение плотности материала на ее объем m = Al, т.е. расход материала при прочих равных условиях зависит только от площади поперечного сечения А. Сравнивая массы балок

m1 : m2 : m3 : m4 : m5 =

= A1 : A2 : A3 : A4 : A5 = 1 : 0,71 : 0,19 : 0,26 : 0,55,

заключаем, что самым неэкономичным является круглое сечение. При замене круга другими формами (прямоугольник, двутавр, два швеллера, два уголка) достигается экономия, равная соответственно 71%, 19%, 26% и 55%.

2.1.4. Исследование напряжений в опорном сечении для балки двутаврового профиля №30a, параметры которой по ГОСТ 8239-89 равны:

h = 30 см, b = 14,5 см; d = 0,65 см; t = 10.7 см;

Ix =7780 cм4; Sx = 292 cм3.

Внутренние силовые факторы в опорном сечении А:

QA = qa = 151.2 = 18 кН;

МА = -4qa2 = -4151.22 = -86.4 кНм.

Эпюра . Нормальные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону z = (Mx / Ix)y. Вычисляем напряжения в крайних точках

max = -min = Mx / Wx = 86,4103 / 54010-6 = 160 МПа

и строим эпюру .

Эпюра . Она строится по формуле Журавского

.

Находим значения  в 4 характерных точках по высоте сечения (необходимые вычисления представлены в табл. 14.8) и строим эпюру касательных напряжений.

Таблица 14.8

точек

bi,

см

,

см3

i,

МПа

max

1, 1

14,5

0

0

0

0

2, 2

14,5

159

10,9

0,0014

0,002

3, 3

0,65

159

244,6

0,0051

0.044

4

0,65

292

449,2

1,0

10

Определение главных напряжений в точке К (yк = -0,1h):

  • напряжения в поперечном сечении

к = (MA / Ix)yк = (-86,4103 / 778010-8)(-0,1)2710-2 = -29 МПа,

к = QA/(bкIx) = 1510329210-6/(0,6510-2778010-8) = 8,6 МПа;

  • величины главных напряжений

,

1 = 2,35 МПа; 3 = -31,35 МПа;

2.2. Проектирование балки из заданного материала

по условиям прочности и жесткости

2.2.1. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента. Опорные реакции

mB = 0, RA3a - q3a2.5aqa a + 0.5qa2, RA = 2qa;

Yi = 0, -RA + q3a + qa + RB = 0, RB = -2qa.

Эпюра Qy. Поперечная сила изменяется на обоих участках по линейному закону и принимает в характерных точках следующие значения:

QO = 0, QOA = QO + qa = qa,

QA = qa - 2qa = -qa, QAC = QA +2qa2= 3qa, QB = qa - 2qa = -qa,

QD = -qa + qa = 0.

Эпюра Мx. Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону, принимая экстремальные значения в сечениях z = 2a и z = 7a. По значениям момента в характерных точках

MO = 0, MOA = 0.5qa2, = M(2a) = 0.5qa2-0.5qa2 = 0,

MC = 0 – 0.5qa2 = -0.5qa2,

MC= M + 0,5qa= 0 MB = 0 – qa2 = qa2 ,MD = qa2 – qa2 = 0

строим эпюру Мx, из которой находим расчетный изгибающий момент (рис. 14.21)

Мрас = qa2 = 151.22 = 21.6 кНм.

2.2.2. Определение перемещений.

Для определения упругих перемещений в инженерной практике применяются как аналитические (точные и приближенные), так и графические методы. Из точных аналитических методов следует отметить метод начальных параметров и энергетический метод. К приближенным относятся метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Ниже определяются линейные и угловые перемещения сечений балки тремя из указанных выше методов.

Метод начальных параметров.

Из граничных условий задачи имеем: vA = 0, vB = 0.

,

,

А теперь находим искомые перемещения:

  • сечение z = a

- сечение z = 2a

,

- сечение z = 3a

,

- сечение z = 4a

,

,

- сечение z = 5a

,

.

Результаты вычислений сведем в табл. 2.1 и построим упругую линию балки, показанную на рис. 14.21 пунктиром

Таблица 2.1

Перемещения

Сечение z

0

а

2а

3а

4а

5а

(qa3/EIx)-1

4/9

5/8

1/19

-1/18

-5/9

-19/18

v(qa4/EIx)-1

-29/72

0

11/72

2/9

0

-8/9

Для расчета балки на жесткость необходимо знать максимальный прогиб, который имеет место в сечении, где угол поворота равен нулю. Последний описывается полиномом 3-й степени и в связи с этим нахождение максимального прогиба связано с громоздкими вычислениями. С другой стороны, судя по приведенной выше таблице, он имеет место в интервале (6а, 7а). В силу непрерывности функции прогибов vmax мало отличается от прогиба сечения С. Следовательно, с небольшой погрешностью (не превышающей точности инженерных расчетов) можно принять

vmaxvD = -8/9qa4/(EIx).

Энергетический метод.

Искомые перемещения находятся с помощью интегралов Мора

,

для вычисления которых в простых случаях можно пользоваться правилом Верещагина

.

В сечениях, где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента. В сечениях, где ищется угол поворота, прикладываем единичный момент и строим от нее эпюру изгибающего момента. Необходимые расчеты представим в виде таблицы 2.2

Знак ”минус ” у перемещения указывает, что оно противоположно направлению соответствующего единичного фактора: единичных сил для прогибов сечения O,D и единичного момента для угла поворота сечения B,т.е. прогибы направлены вверх, а сечение B поворачивается против часовой стрелки. Знак “плюс” у угла поворота указывает, что сечение A поворачивается в направлении единичного момента, т.е. по часовой стрелке.

Таблица2,2

Прогибы

сечение

№ части

1

2

3

4

5

-

1/6

1/6

1/6

½

½

-

O

-3/4

-11/12

-5/12

-1/9

0

-1/8

-11/72

-5/72

-1/18

0

D

0

-1/12

-7/12

-8/9

-2/3

0

-1/72

-7/72

-8/18

-1/3

C

0

1/12

7/12

2/9

0

0

1/72

7/72

2/18

0

Углы поворота

сечение

№ части

1

2

3

4

5

-

1/6

1/6

1/6

½

½

-

-

A

0

11/12

5/12

1/9

0

0

11/12

5/12

1/18

0

B

0

-1/12

-7/12

-8/9

0

0

-1/12

-7/12

-8/18

0

Расчет на ЭВМ методом конечных элементов.

Исходные данные вводятся в безразмерной форме:

, , .

Результатом расчета являются относительные вертикальные перемещения (прогибы)

.

Из рис. 14.22 следует, что наибольший прогиб имеет место в интервале 2 <  < 3 вблизи от сечения, где возникает наибольший изгибающий момент, и равен

.

Подбор сечения балки по условиям прочности и жесткос

Из условия прочности имеем

max = Mmax / Wx  [].