Олимпиада по математике 8 класс Продолжительность 135 минут Максимальное количество баллов - 26

1. Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x²-2000x = y²-2000y. Найдите сумму чисел x и y. (3 балла)

2. Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку?  (3 балла)

3 В шкатулке разбойника лежит несколько драгоценных камней (но не больше 1000). Известно, что 2/9 всех камней составляют алмазы, 4/11 - рубины, 1/7 - сапфиры, а остальные - изумруды. Сколько изумрудов в этой шкатулке? (4 балла)

4 Два торговца купили в городе одинаковое количество товара по одной и той же цене и увезли каждый в свою деревню продавать. Первый продавал товар в два раза дороже закупочной цены. Второй сначала поднял цену на 60%, продал четвертую часть товара, затем поднял цену еще на 40% и продал остальное. Кто из них выручил больше денег?

(5 баллов)

5.Один градус шкалы Цельсия равен 1,8 градусов шкалы Фаренгейта, при этом 0° по Цельсию соответствует 32° по шкале Фаренгейта. Может ли температура выражаться одинаковым числом градусов как по Цельсию, так и по Фаренгейту?

(5 баллов)

6.Треугольник АВС равнобедренный: АВ = ВС = 1, /ABC = 36^o. Биссектрисы АK и СM пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АМО.

(6 баллов)

Решения.

1. Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x²-2000x=y²-2000y. Найдите сумму чисел x и y.

Решение: Данное в условии равенство перепишем следующим образом:

2000(x-y)=(x-y)(x+y).

Так как x не равно y, можно сократить на x-y. Отсюда x+y=2000. (3 балла)

2.Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку? 

Ответ: Приведем одно из возможных решений в виде таблицы: . (3 балла)

Банки	6 л	4 л	3 л
До переливания	6	0	0
После 1-го переливания	2	4	0
После 2-го переливания	2	1	3
После 3-го переливания	5	1	0
После 4-го переливания	5	0	1

3. В шкатулке разбойника лежит несколько драгоценных камней (но не больше 1000). Известно, что 2/9 всех камней составляют алмазы, 4/11 - рубины, 1/7 - сапфиры, а остальные - изумруды. Сколько изумрудов в этой шкатулке? Решение: (2/9)+(4/11)+(1/7)=505/693. Число 693 - единственное возможное среди чисел, не превосходящих 1000. Поэтому, общее число камней - 693. Доля изумрудов составляет 1-(505/693)=188/693. Ответ. 188 изумрудов. (4 балла)

4. Два торговца купили в городе одинаковое количество товара по одной и той же цене и увезли каждый в свою деревню продавать. Первый продавал товар в два раза дороже закупочной цены. Второй сначала поднял цену на 60%, продал четвертую часть товара, затем поднял цену еще на 40% и продал остальное. Кто из них выручил больше денег?

Решение: Пусть стоимость всего купленного товара - x рублей, тогда, первый торговец продал весь товар за 2x рублей. Второй - сначала продал четверть товара, подняв цену на 60%, то есть, получил за это 1,6*0,25x рублей. Затем продал остальное, подняв новую цену еще на 40%, то есть получил 1,6*1,4*0,75x рублей. Получается, что второй продал весь товар за 1,6*0,25x + 1,6*1,4*0,75x = 0,4x + 1,68x = 2,04x(рублей). Это больше, чем 2x, значит, второй выручил больше денег.

Ответ: второй торговец. (5 баллов)

5.Один градус шкалы Цельсия равен 1,8 градусов шкалы Фаренгейта, при этом 0° по Цельсию соответствует 32° по шкале Фаренгейта. Может ли температура выражаться одинаковым числом градусов как по Цельсию, так и по Фаренгейту?

Решение: Из условия следует, что температура по Фаренгейту выражается через температуру по Цельсию следующим образом: T_F = 1,8T_C + 32^o. Если T_F = T_C = x, то x = =1,8x + 32, то есть, x = -40. Заметим, что корень уравнения можно было и не находить. Достаточно указать, что графики линейных функций с неравными угловыми коэффициентами пересекаются.

(5 баллов)

6. Треугольник АВС равнобедренный: АВ = ВС = 1, /ABC = 36^o. Биссектрисы АK и СM пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АМО.

Р ешение: Так как треугольник АВС - равнобедренный и /ABC = 36^o, то /BАC = /BСA = 72^o (см.рис.). Так как АK и СM - биссектрисы треугольника, то ВАK = CAK = BCM = ACM = 36^o. AВK = BAK, значит, АВК - равнобедренный (АК = ВК). АМС = СКА (по II признаку равенства треугольников), значит, АК = СM и СK = АМ, тогда, ВМ = ВК. АОС - равнобедренный, значит, АО = ОС, так как АК = МС, то МО = ОК.

Р_АМО = АО + ОМ + АМ = АО + ОК + АМ = AK + AM = ВK + АМ = ВМ + АМ = АВ = 1.

Ответ: 1 (6 баллов)