Олимпиада по математике 9 класс Продолжительность 135 минут Максимальное количество баллов - 27
1. На клетчатой бумаге нарисован
прямоугольник шириной 200 и высотой 100
клеток. Его закрашивают по клеткам,
начав с левой верхней и идя по спирали
(дойдя до края или уже закрашенной части,
поворачивают направо (См. рис.). Какая
клетка будет закрашена последней?
(Укажите номер её строки и столбца.
Например, нижняя правая клетка стоит в
100-й строке и 200-м столбце.)
(3 балла)
2. В некоторой стране суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10% работников составляет не более 11% всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе? В качестве решения может быть приведен пример. (4 балла)
3. На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 1999-го дня. (Средним арифметическим двух чисел a и b называется число (a+b)/2, а средним гармоническим - число 2/((1/a)+(a/b)) ). (4 балла)
4. Камни лежат в трёх кучках: в одной - 51 камень, в другой - 49 камней, а в третьей - 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой? (5 баллов)
5.Докажите, что если a, b, c - нечётные числа, то хотя бы одно из чисел ab- 1, bc - 1 или ac - 1 делится на 4. (5 баллов)
6. Докажите, что существует квадрат, все вершины и все середины сторон которого лежат на гиперболах y=+(1/x). Найдите площадь такого квадрата. (6 баллов)
Решения.
1. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 200 и высотой 100 клеток. Его закрашивают по клеткам, начав с левой верхней и идя по спирали (дойдя до края или уже закрашенной части, поворачивают направо (См. рис.). Какая клетка будет закрашена последней? (Укажите номер её строки и столбца. Например, нижняя правая клетка стоит в 100-й строке и 200-м столбце.)
Решение. Клетка, расположенная в строке 51 и столбце 50. Сначала будет закрашен наружный слой клеток, после чего останется прямоугольник 98*198 клеток. Этот прямоугольник также будет закрашиваться по спирали; после покраски его наружного слоя останется прямоугольник 96*196 клеток и так далее. После окраски 49 слоёв незакрашенным останется прямоугольник 2*102, расположенный в строках 50-51 и столбцах 50-151. Последней будет закрашена нижняя левая клетка этого прямоугольника.
(3 балла)
2.На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 1999-го дня. (Средним арифметическим двух чисел a и b называется число (a+b)/2, а средним гармоническим - число 2/((1/a)+(a/b)) ).
Решение. Произведение чисел на доске не меняется. Действительно, ((a+b)/2)*(2/((1/a)+(1/b))) = ab. Поэтому искомое произведение равно 2. (4 балла)
3. В некоторой стране суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10% работников составляет не более 11% всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе?
Решение. Да, может. Допустим, что в каждом регионе все получают одинаковую зарплату и есть регион, в котором живут те самые 10% работников, которые получают 90% всей зарплаты. (4 балла)
4. Камни лежат в трёх кучках: в одной - 51 камень, в другой - 49 камней, а в третьей - 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?
Решение. Ответ: нет, нельзя. Заметим, что если в некоторый момент количество камней в каждой кучке делится на нечётное число a, то и во всех получаемых разрешёнными действиями кучках количество камней будет делиться на a. После первого хода можно получить три варианта размещения камней: кучки из 100 камней и 5 камней (общий делитель 5), из 56 камней и 49 камней (общий делитель 7), из 51 камня и 54 камней (общий делитель). (5 баллов)
5.Докажите, что если a, b, c - нечётные числа, то хотя бы одно из чисел ab- 1, bc - 1 или ac - 1 делится на 4.
Решение. Остаток от деления нечетного числа на 4 может быть либо 3, либо 1. Если среди чисел a, b, c есть хотя бы два числа, остатки от деления которых на 4 равны 1, то их произведение при делении на 4 также даёт остаток 1. Следовательно, разность этого произведения и единицы делится на 4, ч. т. д.
В противном случае, среди данных найдутся хотя бы два числа, остатки от деления которых на 4 равны 3. Так как (4m + 3)*(4n+ 3) - 1 = 16mn + 12m+ 12n + 8 = 4(4mn + 3m + 3n + 2), то разность произведения этих чисел и единицы делится на 4, ч. т. д. (5 баллов)
6. Докажите, что существует квадрат, все вершины и все середины сторон которого лежат на гиперболах y=+(1/x). Найдите площадь такого квадрата.
Решение.
Пусть точка A(a; 1/a) лежит на гиперболе y=1/x в первой координатной четверти (а>0). Рассмотрим поворот с центром в начале координат на угол 90o по часовой стрелке (см. рис.).
Получим
точку В(1/a; -a), принадлежащую
гиперболе y=-1/x. Середина отрезка
АВ имеет координаты: M((a2+1)/(2a);
(1-a2)/(2a)). Выясним, существуют
ли значения а такие, что точка М
лежит на первой гиперболе. Составим
уравнение: ((a2+1)/(2a))*((1-a2)/(2a))
= 1, которое имеет единственный положительный
корень a=(51/2-2)1/2. При
рассмотренном повороте точка B
перейдет в точку С, С - в D, D
- в А. Так как при таком повороте
ветви гипербол переходят друг в друга,
то эти точки лежат на гиперболах.
Четырехугольник ABCD - квадрат (свойства
поворота на 90o). Середины его сторон
при указанном повороте переходят друг
в друга и лежат на гиперболах, ч. т. д.
Площадь квадрата равна квадрату его
стороны. Используя формулу расстояния
между точками на координатной плоскости,
получим:
АВ2 = 2(a2+(1/a2)) = 4*51/2. (6 баллов)