Олимпиада по математике 5 класс Продолжительность - 90 минут Максимальное количество баллов - 27

1.Разрежьте нарисованный пятиугольник на две одинаковые (совпадающие при наложении)части.

(4 балла)

2.1)На автобусе ездил Андрей 2) В январе он его не достал, На кружок и обратно домой, И поэтому несколько дней Заплатив 115 рублей, У шофёра билет покупал Покупал он себе проездной Он себе за 15 рублей.

3)А в иной день кондуктор с него 4) За январь сколько денег ушло, Брал 11 только рублей. Посчитал бережливый Андрей Возвращаясь с кружка своего С удивлением он получил Всякий раз шёл пешком наш Андрей. Аккурат 115 рублей!

5)Сосчитайте теперь поскорей, Сколько раз был кружок в январе?

(5 баллов)

3.Винни-Пух и Пятачок поделили между собой торт. Пятачок захныкал, что ему досталось мало. Тогда Пух отдал ему треть своей доли. От этого у Пятачка количество торта увеличилось втрое. Какая часть торта была вначале у Пуха и какая у Пятачка?

(6 Баллов)

4.Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых? Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами. Приведите в качестве решения чертеж. (6 баллов)

5.Витя выложил из карточек с цифрами пример на сложение и затем поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки переставил Витя? (6 баллов)

Решения.

1. Разрежьте изображённый на первом рисунке пятиугольник на две одинаковые (совпадающие при наложении) части. (4 балла)

   

2.1)На автобусе ездил Андрей 2) В январе он его не достал, На кружок и обратно домой, И поэтому несколько дней Заплатив 115 рублей, У шофёра билет покупал Покупал он себе проездной Он себе за 15 рублей.

3)А в иной день кондуктор с него 4) За январь сколько денег ушло, Брал 11 только рублей. Посчитал бережливый Андрей Возвращаясь с кружка своего С удивлением он получил Всякий раз шёл пешком наш Андрей. Аккурат 115 рублей!

5) Сосчитайте теперь поскорей, Сколько раз был кружок в январе?

Решение. Количество рублей, потраченных Андреем в те дни, когда он покупал билет у шофёра, делится на 5; на 5 делится и общее количество потраченных им в январе рублей. Значит, и в другие дни общее количество потраченных денег делилось на 5. Поэтому, количество дней, когда Андрей покупал билет у кондуктора, делится на 5. Числа 0 и 10 не годятся; числа, большие 10 - тем более, поэтому единственный воз- можный вариант - 5 дней. Тогда остальных дней (115-11*5)/15=4, а кружок был 9 раз.

Ответ. 9 раз. (5 баллов)

3. Винни-Пух и Пятачок поделили между собой торт. Пятачок захныкал, что ему досталось мало. Тогда Пух отдал ему треть своей доли. От этого у Пятачка количество торта увеличилось втрое. Какая часть торта была вначале у Пуха и какая у Пятачка?

Решение. Треть доли Пуха увеличила втрое порцию Пятачка, то есть сама была вдвое больше неё. Значит, вся доля Пуха была в 6 раз больше доли Пятачка, то есть у Пуха было вначале 6/7 торта, а у Пятачка - 1/7.

Ответ. 6/7 и 1/7. (6 баллов)

4. Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых? Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами.