Решение
Пример изображен на рисунке:
Ответ: могут. (3 балла)
2.Расположите в порядке возрастания числа: 222 ; 2222; 2222; ; ; . Ответ обоснуйте. Решение:
Сначала рассмотрим показатели степеней
с основанием 2 и сравним их:
= 24 = 16 < 222 < 222 = 484 < 512 = 29
< 222. Следовательно,
< 2222 <
<
.
Затем
оценим остальные степени:
= 224 > 164 = 216 =
и
= 224 < 2222 < 6437 = (26)
= 2222; 2222 < 2562 = 216
=
.
Ответ:
2222 <
< 222
< 2222 < 2222 < 2
< 2
.
(4
балла)
3.Корни уравнения x2 + ax + 1 = b - целые, отличные от нуля, числа. Докажите, что число
a2 + b2 является составным.
Решение: Запишем данное квадратное уравнение в стандартном виде: x2 + ax + (1 - b) = 0. По теореме Виета: x1 + x2 = - a, x1 . x2 = 1 - b, где x1 и x2 — корни данного уравнения. Значит, a = - (x1 + x2), b = 1 - x1 . x2. Следовательно, a2 + b2 = (x1 + x2)2 + (1 - x1 . x2)2 = x12 + x22 + 1 + x12 . x22 = (x12 + 1) (x22 + 1). Полученное число является составным, так как, если x1 и x2 — целые, то каждый из множителей принимает целое значение, отличное от единицы.
(5
баллов)
4.На сторонах AB и AC треугольника ABC нашлись такие точки M и N , отличные от вершин, что MC=AC и NB=AB . Точка P симметрична точке A относительно прямой BC . Докажите, что PA является биссектрисой угла MPN .
Решение.
Из равенства MC=AC вытекает, что
AMC =
BAC
, а из симметрии следует, что
BPC
=
BAC
. Отсюда
BPC
+
BMC
=
BAC
+(180o -
AMC)
= 180o , поэтому четырехугольник
BMCP – вписанный. Отсюда
MPA=
MPC-
APC=
MBC
PAC=
ABC-(90o-
ACB)=
ABC+
ACB-90o
Аналогично,
NPA=
ABC+
ACB-90o
.
Замечание. Еще одно решение можно получить как следствие известного факта о том, что высоты треугольника ABC являются биссектрисами треугольника с вершинами основаниях высот: при гомотетии с центром A и коэффициентом точки P , N и M переходят в основания высот треугольника ABC . (5 баллов)
5. Три гнома живут в разных домах на плоскости и ходят со скоростями 1, 2 и 3 км/ч соответственно. Какое место для ежедневных встреч нужно им выбрать, чтобы сумма времён, необходимых каждому из гномов на путь от своего дома до этого места (по прямой), была наименьшей.
Решение:
Этим местом встречи является дом первого гнома (который ходит со скоростью 1 км/ч). Для доказательства этого обозначим искомое место встречи гномов буквой A, а дома занумеруем цифрами 1, 2, 3 в соответствии с величинами скоростей гномов. Расстояния между домом 1 и домами 2 и 3 обозначим через а и b, а расстояния от точки A до домов 1, 2, 3 - через x, y и z соответственно. Тогда
откуда
причём равенство достигается при х = 0, т. е. когда точка A совпадает с домом 1.
Ответ: дом первого гнома. (6 баллов)
6.Графики функций у = х2 + ах + bи у = х2 + сх + d пересекаются в точке с координатами (1; 1). Сравните a5 + d6 и c6- b5.
Решение. a5 + d6 = c6 – b5. Так как графики функций проходят через точку (1; 1), то выполняются равенства: 1 = 1 + а + b и 1 = 1 + с + d, то есть, a = -b и с = -d. Следовательно, а5 = -b5 и d6 = c6. Складывая эти неравенства почленно, получим, что а5 + d6 = c6 – b5.
(6 баллов)