Задача 5

1. Даны разложения векторов, служащих сторонами треугольника, по двум взаимно перпендикулярным ортам: . Вычислить длину медианы AM.

2. Найти проекцию вектора на ось, имеющую направление вектора , где - взаимно перпендикулярные орты. Вычислить углы между осью проекций и единичными векторами .

3. Векторы образуют, угол , зная, что .

4. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы с углом между ними .

5. Дан треугольник с вершинами . Определить его внешний угол при вершине С.

6. Зная векторы, образующие треугольник: , где взаимно перпендикулярные орты - определить углы этого треугольника.

7. Даны векторы: причем . Определить

угол между медианой треугольника АОВ и стороной .

8. Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на

в екторах и , если известно, что .

9. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах , где - единичные векторы, с углом между ними .

10. Даны вершины четырехугольника:

. Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны.

11. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы, угол между которыми .

12. Определить, при каком значении векторы и взаимно перпендикулярны.

13. Какой угол образуют единичные векторы , если известно, что векторы взаимно перпендикулярны.

14. Даны вершины треугольника: . Используя скалярное произведение, убедиться, что этот треугольник равнобедренный.

15. Даны вершины треугольника: . Определить его внешний угол при вершине А.

16. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы, угол между которыми .

17. Вычислить угол между векторами - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

18.Зная, что , определить, при каком значении коэффициента векторы окажутся перпендикулярными.

19. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , если известно, что .

20. Дан треугольник . Найти его внутренний угол при вершине А и внешний угол при вершине В.

21. Какой угол в треугольнике с вершинами прямой?

22. Дан вектор , где - единичные векторы с углом между ними

. Найти .

23. Найти угол между векторами - единичные векторы, образующие угол .

24. Даны вершины четырехугольника

. Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

25. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы, угол между которыми .

26. Доказать, что четырехугольник с вершинами

и - квадрат.

27. Найти косинус угла между диагоналями (АС) и (ВD) параллелограмма, если заданы три его вершины .

28. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положения А(-1, 2, 0) в положение В (2, 1, 3).

29. Даны векторы . Найти косинус угла между векторами , удовлетворяющими системе уравнений .

30. Векторы имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти координаты вектора , если .