![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Занятие 1 Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •1. Определить точку n, с которой совпадает конец вектора если его
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Задача 9
- •Задача 10
Домашнее задание
1. Вычислить
скалярное произведение двух векторов
,
зная их разложение по трем единичным
взаимно перпендикулярным векторам
;
.
2. Найти длину
вектора
,
зная, что
– взаимно перпендику-
лярные орты.
3. Векторы
попарно образуют друг с другом углы,
каждый из которых равен
.
Зная, что
,
определить модуль вектора
.
4. Доказать, что
вектор
перпендикулярен к вектору
.
5. Даны векторы
,
совпадающие со сторонами треугольника
АВС. Найти разложение вектора, приложенного
к вершине В этого треугольника и
совпадающего с его высотой BD
по базису
.
6. Вычислить угол
между векторами
,
где
-
единичные взаимно перпендикулярные
векторы.
7. Даны силы
,
приложенные к одной точке. Вычислить,
какую работу производит равнодействующая
этих сил, когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается
из положения
в положение
.
8. Даны вершины
треугольника
.
Определить его внутренний угол при
вершине В.
9. Вычислив
внутренние углы треугольника с вершинами
,
,
убедиться, что этот треугольник
равнобедренный.
10. Найти вектор
,
зная, что он перпендикулярен векторам
и
.
11. Найти вектор
,
коллинеарный вектору
и удовлетворяющий условию
,
где
.
12. Вычислить
проекцию вектора
на ось вектора
.
13. Даны векторы
.
Вычислить
.
14. Даны точки
.
Вычислить проекцию вектора
на ось вектора
.
Ответы к задачам
1) -7, 13. 2) 15,
.
4)
.
6)
.
7) 2. 8) -1/3.
9)
.
10)
.
11)
.
12)
.
13)
.
Ответы к домашнему заданию
1) 9. 2) 5. 3) 10. 5)
.
6)
.
7) 13. 8)
.
10)
.
12) 6. 13) 5. 14) 3.
Занятие 3
Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов
Определение1. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой) если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами и от него к , човершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке)
Тройка правая Тройка левая
Определение
2. Векторным
произведением вектора
на вектор
называется вектор
,
длина и направление которого определяются
условиями:
1.
,
где
- угол между
.
2.
.
3. - правая тройка векторов.
Свойства векторного произведения
1.
(свойство антиперестановочности
сомножителей);
2.
(распределительное относительно суммы
векторов);
3.
(сочетательное относиельно числового
множителя);
4.
(равенство нулю векторного произведения
означает коллинеарность векторов);
5.
,
т. е. момент сил равен векторному
произведению силы на плечо.
Если вектор
,
то
.
Определение
3. Смешанным
произведением
трех векторов называется число,
определяемое следующим образом:
.
Если векторы заданы своими координатами:
,
то
~
.
Свойства смешанного произведения
1. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство = 0.
2. Объем
параллелепипеда, построенного на
векторах
: