ЗМодуль 3. Лінії другого порядку. Канонічні рівняння ліній другого порядку, основні геометричні властивості цих ліній.

1. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо більша вісь рівна 26 і ексцентриситет е = .

(Відповідь: + =1).

2. Відстань від одного із фокусів еліпса до кінців його більшої осі відповідно рівні 7 і 1 . Скласти рівняння цього еліпса.

(Відповідь: + =1).

3. На еліпсі + =1 знайти точку, відстань якої від правого фокуса в чотири рази більша її відстані від лівого фокуса.

(Відповідь: (- ; ) ).

4. Визначити ексцентриситет еліпса, знаючи що відстань між директрисами в чотири рази більша відстані між фокусами.

(Відповідь: е = ).

5. Знайти довжину сторони квадрата, вписаного в еліпс + =1

( Відповідь: ).

6. Написати рівняння дотичної до еліпса + = 1 в точці М(4;3).

(Відповідь:3х+4у-24=0).

7. Визначити дотичної до еліпса + =1, що паралельні прямій х+у-1=0.

(Відповідь: х+у 5=0).

8. Дано рівняння асимптот гіперболи у= х і координати точки М(24,5), що лежать на гіперболі. Скласти рівняння гіперболи.

(Відстань: - =1).

9. Скласти рівняння гіперболи, яка має спільні фокуси з еліпсом + =1 при умові, що ексцентриситет її е = .

(Відповідь: - =1).

10. Скласти рівняння дотичної до гіперболи - =1 в точці М(5;-4)

(Відповідь: х+у-1=0).

11. Скласти рівняння дотичної до гіперболи - =1, якщо дотична:

1) паралельна прямій 3х-у-17=0;

2)перпендикулярна до прямої 2х+5у+11=0

(Відповідь: 1) 3х-у 3 =0; 2) 5х-2у 9=0).

12. Гіпербола, осі якої співпадають з осями координат, дотикається до прямої х-у-2=0 в точці М(4;2). Скласти рівняння цієї гіперболи.

(Відповідь: - =1).

13. Скласти рівняння гіперболи, знаючи рівняння її асимптот у= х і рівняння однієї із її дотичних 5х-6у-8=0.

(Відповідь: - =1).

14. Скласти рівняння параболи, якщо дано координати фокуса F (3;0) і рівняння директриси х=-1.

(Відповідь =8х-8).

15. На параболі =8х знайти точку, радіус якої рівний 20.

(Відповідь: (18;12), (18;-12).)

16. Знайти таку хорду параболи у²=4х, яка точкою (3;1) ділиться навпіл.

(Відповідь: у=2х-5)

17. Знайти найкоротшу відстань від параболи у²=64х до прямої 4х+3у+46=0

(Відповідь: 2).

18. Через фокус параболи у²=2рх проведена хорда, перпендикулярна до її осі. Визначити довжину цієї хорди.

(Відповідь: 2р).

19. Скласти рівняння дотичної до параболи у²=4х в точці М(9,6)

(Відповідь х-3у+9=0. ).

20. Скласти рівняння параболи, знаючи, що 1) відстань від фокуса до вершини дорівнює 3, парабола дотикається до осі Оу і симетрична відносно осі Ох; 2) фокус має координати (5,0) а вісь ординат є директрисою.

(Відповідь: 1) у²₌ 12х, 2) у²= 10х-25.)

ЗМодуль 4. Лінії другого порядку, задані загальними рівняннями

1. Знайти вигляд і розташування лінії, заданої рівнянням .

2. В точках перетну кривої з віссю абсцис провести дотичні до цієї кривої.

3. Визначити осі лінії другого порядку

4. Визначити осі лінії другого порядку

5. Знайти вигляд і розташування лінії, заданої рівнянням .

6. Знайти вигляд і розташування лінії, заданої рівнянням .

7. За допомогою інваріантів визначити форму, розміри та побудувати лінію

8. Знайти вигляд і розташування лінії, заданої рівнянням .

9. Знайти асимптоти лінії

10. Знайти центр лінії другого порядку .

12. При яких значеннях і рівняння

визначає: центральну лінію, лінію без центра, лінію з безліччю центрів?

13. Написати рівняння діаметра кривої другого порядку

, що проходить через середину хорди,

що відтинається цією кривою на прямій