Площина і пряма у координатному просторі, найпростіші задачі.

1. Знайти віддаль від точки до прямої :

.

2. Записати рівняння спільного перпендикуляра для двох мимобіжних прямих, заданих канонічними рівняннями.

3. Знайти найкоротшу віддаль між мимобіжними прямими, заданими канонічними рівняннями.

4. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат і через точки М₁(2;1;1) і М₂(-3;0;4). С.к.а. (Відповідь: 4х-11у+3z=0)

5. Скласти рівняння площини, що проходить через точку (3;7;2) і паралельно двом векторам (4;1;2) і (5;3;1). С.к.а.

(Відповідь: 5х-6у-7 z + 41=0 )

6. Дано вершини тетраедра А(5;1;3), В(1;6;2), С(5;0;4), D(4;0;6). Написати рівняння площини, що проходить через ребро АВ паралельно ребру СD.

(Відповідь: 10х+9у+5 z -74=0 ).

6. Скласти рівняння площини, що проходить через точку (3;-5;-1) і паралельно площині х-2у+4 z=0.С.к.а.

(Відповідь х-2у+4z-17=0 ).

6. Дано рівняння трьох граней паралелепіпеда 2х+3у+4z-12=0, х+3у-6=0, z+5=0, і одна з його вершин ( 6;-5;1). Скласти рівняння трьох інших граней паралелепіпеда.

7. (Відповідь: 2х+3у+4 z-1=0, х+3у+9=0, z-1=0 ).

10. Через початок координат провести площину, перпендикулярну до площини 5х-2у+5z-10=0 і утворює з площиною х-4у-8z+12=0 кут 45⁰

(Відповідь: х+20у+7z=0 і х-z=0 ).

11. Знайти основу перпендикуляра, опущеного із точки (1;3;5) на пряму, по якій перетинаються площини 2х+у+z-1=0, 3х+у+2z-3=0

(Відповідь: (-2;1;4) ).

11. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат, через точку (1,2,3) і перпендикулярна до площини х-у+2z-4=0.

(Відповідь: 7х+у-3z=0 ).

11. Скласти рівняння площини, що проходить через точку (-3;1;0) і через пряму х+2у-z+4=0, 3х-у+2z-1=0. С.к.а.

(Відповідь: 20х+19у-5z+41=0 ).

11. В жмутку, що визначаються площинами 2х+у-3z+2=0 і 5х+5у-4z+3=0, знайти дві перпендикулярні між собою площини, із яких одна проходить через точку (4,-3,1).

(Відповідь: 3х+4у-z+1=0 і х-2у-5z+3=0).

11. Дано вершини тетраедра А(0;0;2), В(3;0;5), С(1;1;0), D(4;1;2). Знайти довжину висоти опущеної із вершини D на грань АВС.

(Відповідь: ).

11. Скласти рівняння площини, що паралельна площині 2х+у-4z+5=0 і яка віддалена від точки (1;2;0) на відстань .

(Відповідь: 2х+у-4z+17=0, 2х+у-4z-25=0 ).

11. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат і через пряму х=3-2t, y=1+ t, z=t С.к.а.

(Відповідь: х-3у+5z=0 ).

11. Визначити кут між двома прямими

3х-4у-2z=0 4х+у-6z-2=0

2х-у-2z=0 і у-3z+2=0

(Відповідь: cosλ = ).

11. Знайти кут між прямою х=5+6t, у=1-3t , z=2+t, та площиною 7х+2у-3z+5=0.

(Відповідь: arcsin ).

11. Скласти рівняння проекції прямої х=3+5t, у=-1+t, z=4+t на площину 2х-2у+3z-5=0.

(Відповідь: 5х-13y-2z+20=0, 2x-2у+3z-5=0 ).

11. Знайти відстань від точки (1,3,5) до прямої, по якій перетинаються площини 2х+у+z-1=0, 3х+у+2z-3=0.

(Відповідь: ).