Умови задач, рекомендованих для індивідуального розв’язання з курсу «Аналітична геометрія».

ЗМодуль 1. Системи координат. Векторна алгебра.

Декартові системи координат на прямій,

на площині та у просторі. Основні задачі координатної геометрії.

1. Знайти координати x і y центра ваги трикутника АВС з вершинами , та .

(Відповідь: ), .)

2. Знайти в площині точку рівновіддалену від трьох точок . (Відповідь: )

3. Дві вершини трикутника знаходяться в точках (5, 1) і (–2, 2); третя вершина лежить на осі . Знайти координати третьої вершини, знаючи, що площа трикутника дорівнює 10.

(Відповідь: (32, 0) і (–8, 0))

4. Обчислити площу трикутника, вершини якого А(r₁, φ₁), В(r₂, φ₂), задано полярними координатами (φ₁>φ₂).

(Відповідь: )

5. Дано дві суміжні вершини паралелограма А(-1;3), В( 2;-1 ). Знайти дві інші вершини при умові, що діагоналі паралелограма паралельні осям координат. (Відповідь: С( 5,3 ), D( 2,7 ) або С(-1;-5), D (-4;-1))

6. На осях координат знайти точки, кожна з яких рівновіддалена від точок (1,1) та ( 3;7 ). (Відповідь: (14,0) і (0; ) )

7. Знаючи дві протилежні вершини ромба А( 8;-3 ) і С ( 10,11 ), знайти дві інші його вершини при умові, що довжина сторони ромба дорівнює 10. ( Відповідь: В(2;5), D(16;3) ).

8. Дано три послідовні вершини трапеції А(-2;-3 ), В(1,4), С(3,1). Знайти четверту його вершину D при умові, що основа АD в п’ять разів більша за основу ВС . ( Відповідь: D(8;-18) )

9. Дано трикутник АВС: А(4;1), В(7;5), С(-4;7 ). Знайти довжину бісектриси АD кута А. ( Відповідь: )

10. Знайти центр ваги дротяного трикутника, довжина сторін якого 3, 4 і 5см. (Відповідь: якщо направити вісь абсцис по меншому із катетів, а вісь ординат по більшому, то для координат центр ваги трикутника отримаємо числа х=1 , у = .)

11. Площа трикутника S=3, дві його вершини точки А(3;1) і В(1;-3), центр ваги цього трикутник лежить на осі Ох. Визначити координати третьої вершини С. ( Відповідь: (5;2) або(2;2) )

12. Знайти відстань між двома даними точками:

1) А(2; ) і В (1; ) ;

2) С(4; ) і D (6; ) ;

3) Е (3; ) і F (4; ). (Відповідь: 1) АВ= ; 2)СD=10; 3)EF=5. )

13. Знайти площу трикутника, одна із вершин якого розташована в полюсі, а дві інші мають полярні координати (4; ), (1; ). (Відповідь: S=1.)

14. Знайти прямокутні координати точок, що задані своїми полярними координатами: А(2, ), В( , ), С(5, ), D(3, - ), причому вісь абсцис співпадає з полярною віссю, а початок координат – з полюсом. ( Відповідь: А (1; ); В (-1;1); С(0;5); D ( ; - ) ).

15. Знайти полярні координати точки М, знаючи її декартові координати х = 8, у = -6. ( Відповідь: = 10, cosφ = , sin φ = - .)

16. Дано полярні координати точок А(8; - ) і В (6; ). Знайти полярні координати середини відрізка АВ. ( Відповідь: (1;- ) ).

17. Знайти площу п’ятикутника вершинами якого є точки А(-2;0), В(0;-1), С(2;0), D(3,2) та Е(-1:3). ( Відповідь: 12,5 )

18. В трикутнику АВС: А(5;-4), В(-1;2), С(5;1) проведена медіана АD. Знайти її довжину. ( Відповідь АD = ).

19. Знайти дві точки А та В, знаючи що точка С(-5;4) ділить відрізок АВ у відношенні , а точка D(6;-5) - у відношенні . (Відповідь: А(160;-131), В(-225;184) ).

20. Дано дві точки А (-4;2), В(8;-7). Знайти точки С і D, які ділять відрізок АВ на три рівні частини.

( Відповідь: С(0;-1), D(4;-4) ).

Вектори. Лінійні операції над векторами. Лінійна залежність векторів.

1. Точки і є серединами сторін і паралелограма . Позначивши і , виразити через вектори і вектори і .

2. У трикутнику знайти точку, щоб сума векторів із цієї точки до вершин трикутника була рівна .

3. Перевірити, які із векторів , , є лінійно залежні, у випадку, коли це можливо, виразити вектор через вектори і :

а) , , .

б) , , .

4. Вектори = і = є діагоналями паралелограма АВСD. Виразити через вектори і вектори , , , які є сторонами цього паралелограми.

( Відповідь: = , = , = , =- ).

5. В трикутнику АВС проведені медіани АD, ВЕ, і СF. Знайти суму векторів + + .

( Відповідь: 0 ).

6. В чотирикутнику АВСD покладемо = , = , = , = . Знайти вектор , що з’єднує середини діагоналей АС і ВD.

( Відповідь: = - ).

7. Дано три вектора , , . Підібрати числа і так щоб три вектори , та утворювали трикутник, якщо початок вектора співпадає з кінцем вектора , а початок вектора з кінцем вектора .

( Відповідь: =2, =-3 ).

8. Із однієї точки проведені вектори =(-12;16), = (12;5). Знайти координати одиничного вектора, який будучи проведений із тієї ж точки, ділив би кут між та навпіл.

( Відповідь ( ; ) ).

9. Показати, що які б не були три вектора , та і три числа λ, μ, γ, вектори λ -μ , γ - λ , μ -γ компланарні.

10.Відносно ортонормованого базису дано вектор =(-8;4;1). Знайти одиничний вектор, який має такий напрямок, що і вектор .

( Відповіді: (- ; ; )).

11.Дано вектор =(6;-8). Знайти координати одиничного вектора, який колінеарний з і напрямлений 1) в ту сторону; 2) в протилежну.

( Відповідь: ( 0;6;-0;8), (-0;6;0;8) ).

12. В трикутнику АВС проведена бісектриса АD кута А. Виразити вектор через вектори і .

( Відповідь: = ).

13.Представити вектор як лінійну комбінацію векторів , і у випадках:

1) =(2;3;1), =(5;7;0), =(3;-2;4), =(4;12;-3)

2) =(5;-2;0), =(0;-3;4), =(-6;0;1), =(25;-22;16)

( Відповідь: 1) = + - , 2) =5 +4 ).

14.Знаючи радіус – вектори _{вершин трикутника}знайти радіус – вектор точки перетину його медіан.

( Відповідь: ).

Скалярне, векторне та мішане множення векторів.

1. В вершині куба прикладено три сили, різні за величиною 1, 2 і 3 і напрямлені по діагоналях граней куба. Визначити величину рівнодійної. (відповідь: 5).

2. Вектори і визначені координатами своїх кінців: ; ; ; .

Знайти а) векторний добуток ;

б) його модуль;

в) напрямні косинуси векторного добутку

(Відповідь: а) ,

б) ,

в) ).

3. Знайти площу трикутника, координати вершин якого відомі ; ; .

(Відповідь: кв.од.).

4. Знайти об’єм піраміди за відомими координатами її вершин: , ; ; .

(Відповідь: куб.од.).

5. Дано вектори , , . Вектори і не колінеарні. Нехай – проекція точки на площину . Найти вектор .

(Відповідь: ).

6. Знайти скалярний добуток векторів та у випадку

1) | |=| |=1, ( ,^ )=135^0;

2) | |=3, | |=1 а в.

( Відповідь: 1) - ; 2) -3) ).

7. В трикутнику АВС дано довжини його сторін ВС=5, СА=6, АВ=7, Знайти скалярний добуток векторів і

( Відповідь -19 ).

8. Який кут утворюють одиничні вектори та , якщо відомо, що вектори = +2 і =5 -4 взаємно –перпендикулярні.

(Відповідь: ).

9. Знайти числову величину проекції вектора ( 7;-4) на вісь, паралельну вектору (-8;6).

( Відповідь: -8 )

10. Дано три вектори =(3;-2;4), =(5;1;6), =(-3;0;2). Знайти вектор , що задовольняє одночасно трьом рівнянням ·=4, =35, =0.

(Відповідь: =(2;7;3) ).

11. Дано два вектора =(11;10;2) та =( 4;0;3). Знайти вектор , перпендикулярний до векторів та рівний 1 і напрямлений так, щоб трійка векторів , , була орієнтована так як трійка одиничних векторів ортонормованого базису.

(Відповідь: ( ; - ; - ) ).

12. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах =(8;4;1), =(2;-2;1).

(Відповідь: 18 ).

13. Дано вектори =(3;1;2), =(2;7;4), =(1;2;1).

Знайти: 1) ; 2) ( [ ] с); 3) ( [ ] ).

(Відповідь: 1) -7; 2) (-46,29,-12); 3) (-7,7,7)).

14. Визначити кут λ між векторами та , що задані своїми координатами: 1) =(4,3), =(1;7); 2) =(6;-8), =(12;9), 3) =(2;5), =(3,-7).

(Відповідь: 1) 45⁰, 2) 90⁰, 3)135⁰).