3.10.2. Основные операции с комплексными числами Основные формы записи комплексных векторов

Рассмотрим запись комплексных векторов в показательной и алгебраической формах на комплексной плоскости в зависимости от угла и их величин.

В зависимости от угла , а следовательно его расположения в определенном квадранте, знаки действительной и мнимой части могут быть различными (рис. 3.43).

В I-м квадранте имеет место (рис. 3.43,а) и .

В II-м квадранте имеет место (рис. 3.43,б) и .

В III-м квадранте имеет место (рис. 3.43,в) и . Аргумент в третьем квадранте рационально записывать со знаком ” ”. В этом случае, вектор откладывается по часовой стрелке со знаком ”-”.

Например, комплексный вектор .

В IV-м квадранте имеет место (рис. 3.43,г) и . Аргумент в четвертом квадранте рационально записывать со знаком ” ”. В этом случае, вектор откладывается по часовой стрелке. Например, комплексный вектор .

В операциях с комплексными векторами используется понятие комплексно сопряженного вектора (рис. 3.44). Для комплексного вектора сопряженный комплексный вектор равен . Комплексно сопряженный вектор может быть получен в показательной форме из комплексного вектора путем замены знака аргумента на противоположный, либо заменой знака мнимой величины на противоположный в алгебраической форме.

Основные операции с комплексными векторами

Рассмотрим основные операции с комплексными векторами на примере операций с комплексными числами. Заданы два комплексных вектора:

.

1. Сумма двух комплексных векторов   и   есть также комплексный вектор  . Для его получения используется алгебраическая форма записи, в которой отдельно складываются действительные и мнимые части комплексного числа.

.

2. Разность двух комплексных векторов  и  есть также комплексный вектор  . Нахождение разности двух комплексных векторов, аналогично операции суммирования.

.

3. Произведение двух комплексных векторов    и  есть также комплексное вектор  . Для его получения используется показательная форма записи.

.

Выполнение операции умножения можно осуществить с использованием алгебраической формы записи. Для этого необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов, при этом следует помнить, что .

.

4. Деление двух комплексных векторов    и   есть также комплексный вектор  . Для ее получения используется показательная форма записи.

.

При выполнении операции деление, можно использовать также алгебраическую форму записи, но при этом следует помнить, что произведение . Тогда операция деление выглядит следующим образом:

.

Операции с комплексными числами проиллюстрируем на конкретных примерах.

Пример 3.8. Допустим, имеем четыре комплексных числа

, , , .