Мастяева И.Н. Исследование операций в экономике

Построение редуцированных матриц C12 и C11 и вычисление

оценок снизу

Положим

Искомая редуцированная матрица C 12 получается из C12 с помощью

описанной выше процедуры редуцирования. Сумма констант редуцирования равна при этом Θ(r, s) , а величина

d( X 12) = d( X 1) + Θ(r, s)

является оценкой снизу для целевой функции F(x) на множестве X 12 . Рассмотрим теперь множество X 11 . Все маршруты из этого

множества содержат дугу (r,s). Найдем максимальный связанный путь, который принадлежит всем маршрутам множества X 1 и содержит дугу

(r,s). Пусть этот путь начинается в городе m и заканчивается в городе t (может быть, m=r или t=s, или то и другое одновременно).Чтобы запретить подцикл, начинающийся и заканчивающийся в m, положим

c11(t,m) = +∞. Остальные элементы матрицы C11 полагаем равными соответствующим элементам матрицы C1 , при этом строку, соответствующую городу r и столбец, соответствующий городу s, в матрицу C11 не включаем, поскольку все маршруты из X11 содержат дугу (r,s).

Редуцированная матрица расстояний C 11 для вершины X 11 получается из матрицы C11 с помощью операции редуцирования. При этом оценка снизу для функции F(x) на множестве X 11 вычисляется по формуле

d( X11) = d( X1) + τ ,

где τ - сумма констант редуцирования.

Формирование списка кандидатов на ветвление.

После вычисления каждой из оценок d( X1i ) (i=1,2) следует проверить, не состоит ли множество X1i из единственного маршрута. Если в каждой строке и в каждом столбце матрицы C1i оказалось лишь

51

по одному элементу, отличному от +∞, то множество X1i содержит единственный маршрут, длина которого равна d( X1i ) . В этом случае верхняя граница Z0 (наименьшее из уже вычисленных значений F(x)

кандидатов на ветвление. Остановка производится, если наименьшая из оценок снизу кандидатов на ветвление не меньше текущего значения

Z0.

Пример. Решить методом ветвей и границ задачу коммивояжера с матрицей

Возьмем в качестве произвольного допустимого маршрута

x0 = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(51,)}. Тогда F( x0 ) = 10+10+20+15+10 = 65 - текущее значениеZ0 - (верхняя граница длин всех маршрутов).

Получим редуцированную матрицу C .

0 0 9 12 0

52

Нижняя граница d(X) = 10+1+8+10+8+9+12=58. Данное значение является нижней границей длин всех маршрутов. Заметим, что в идеальном случае поиск решения заключался бы в выборе ровно одного нулевого элемента в каждой строке и каждом столбце. Другими словами, если бы такой маршрут нулевой длины мог бы быть найден, то длина оптимального маршрута равнялась бы 58. Исходя из верхней и нижней границ можно заключить, что 58 ≤ F ( x*) ≤ 65 .

Выберем дугу (r,s) с помощью вычисления значений функции

Θ(µ,ν).

53

Оценка снизу для правого подмножества:

d( X 4 ) = d( X1 ) + Θ(4,2) = 58 + 4 = 62 < Z 0

Левая подматрица:

Левое подмножество X 3 будет содержать маршруты, которые всегда

включают дугу (4,2), и поэтому четвертая строка и второй столбец в матрицу C3 не включаются. В результате будем иметь матрицу на

единицу меньшего размера. Далее необходимо положить c3 (3,4) = +∞,

чтобы запретить подцикл {(4,2),(2,3),(3,4)}. В результате получим матрицу

следовательно, для дальнейшего разбиения выбираем множество X 4 .

Определим дугу (r,s) с помощью значений функции Θ(µ,ν) для матрицы C 4 .

Θ(1,2) = 0, Θ(1,5) = 1, Θ(3,1) = 0, Θ(3,4) = 3, Θ(4,1) = 1, Θ(5,2) = 2. Следовательно, Θ(r,s) = 3, (r,s) = (3,4).

55

всегда включают дугу (4,1), и поэтому четвертая строка и первый столбец в матрицу C7 не включаются. В результате будем иметь

матрицу на единицу меньшего размера. Далее необходимо положить

нижней оценкой, поэтому задача решена.x1={(15,)(5,2)(2,3),(3,4),(4,1)} = x*

Z0 = F( x*) = 10 + 8 + 10 + 20 + 14 = 62 .

Представим процесс решения в виде дерева.

57

4.Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели.

Вданной теме рассматриваются транспортная модель и ее варианты. Такая модель используется для составления наиболее экономичного плана перевозок одного вида продукции из нескольких пунктов (например, заводов) в пункты доставки (например, склады). Транспортную модель можно применять при рассмотрении ряда практических ситуаций, связанных с управлением запасами, составлением сменных графиков, назначением служащих на рабочие места, оборотом наличного капитала, регулированием расхода воды в водохранилищах и многими другими. Кроме того, модель можно видоизменить, с тем чтобы она учитывала перевозку нескольких видов продукции.

Транспортная задача представляет собой задачу линейного программирования, однако ее специфическая структура позволяет так модифицировать симплекс-метод, что вычислительные процедуры становятся более эффективными. При разработке метода решения транспортной задачи существенную роль играет теория двойственности.

Вклассической транспортной задаче рассматриваются перевозки (прямые или с промежуточными пунктами) одного или нескольких видов продукции из исходных пунктов в пункты назначения. Эту задачу можно видоизменить, включив в нее ограничения сверху на пропускные способности транспортных коммуникаций. Задачу о назначениях и задачу управления запасами можно рассматривать как задачи транспортного типа.

59