Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Мастяева И.Н. Исследование операций в экономике

.pdf
Скачиваний:
80
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
3.01 Mб
Скачать

Метод Зойтендейка.

Пусть требуется найти максимальное значение вогнутой функции

f (x ) :

f (x ) max

при условиях

A

 

 

 

 

 

 

x

b

(5.7)

P =

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

Характерной особенностью этой задачи является то, что ее система ограничений содержит только линейные неравенства.

Предположим также для любой допустимой точки x, что A1 x = b1

и A2 x < b2 , где A = (A1, A2 ) и b = (b1,b2 ) . Далее приводится алгоритм метода Зойтендейка для случая линейных ограничений.

Алгоритм метода Зойтендейка.

Начальный этап. Выбрать начальную точку x 0 P , для которой

A =(A1, A2),b =(b1,b2),

A1 : A1 x 0 = b1, A2 : A2 x 0 < b2 .

Положить k=0. Основной этап.

Шаг 1. Для x k P предполагаем, что A =(A1k ,A2k ),

b =(b1k ,bk2 ), A1 xk =b1, A2 xk <b2 .

Шаг 2. Определить возможное направление подъема, решая следующую задачу:

ϕ(

S

) =( f (

x

k ),

S

) max

(5.8)

при условиях:

 

 

 

Pk ={S

:

 

En,A1

 

 

0,

 

 

 

S

S

(5.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1S j 1, j =1,n}

 

 

 

Шаг 3. Если все ϕ(

 

) =( f (

 

k ),

 

k ) =0, то

 

* =

 

k - задача решена.

S

x

S

x

x

Шаг 4. Определить βk (шаг в направлении

S k ), решая задачу

одномерной оптимизации:

f (x k + βS k ) max 0 β β* .

111

Шаг 5. Положить x k +1 = x k + βk S k , заменить k на k+1 и перейти к

шагу 1. Пример.

f (x) = 4x1 + 6x2 + 2x1 x2 2x12 2x2 2 max

x1 + x2 2

x1 +5x2 5x1 0

x2 0

Начальный этап.

 

 

 

 

 

 

 

Выбираем начальную точку x0

= (0,0) , для которой:

1

0

 

 

 

0

1

1

 

 

 

2

 

 

A10 =

,b10

=

, A20

=

,b20 =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

0

1

5

 

 

 

5

f (x) = (4 + 2x2 4x1 ,6 + 2x1 4x2 ) , положить k=0.

Основной этап. Итерация 1.

Шаг 1. Для x0 = (0,0) заданы A10 ,b10 , A20 ,b20 .

Шаг 2. f (x0 ) = (4,6) .

Решаем задачу

ϕ(S) =( f (x0 ),S) =4S1 +6S2 max

при условиях

S1 0

S2 0

1 S1 1

1 S2 1

При решении этой задачи получаем S0 = (1,1),ϕ(S0 ) =10. Шаг 3. Так как ϕ(S0 ) =10 0 , переходим к шагу 4. Шаг 4. Решаем одномерную задачу:

f (x0 + βS 0 ) =10 2β 2 max

0ββ*

Определяем β* :

β* = min 2 , 5 = 5 ,

2 6 6

т.е. решаем задачу:

10 2β 2 max

0 β 65

Очевидно, что решением является β0 = 56 .

Шаг 5. Положить x 1 = x 0 + β0 S 0 = (0,0) + 56 (1,1) = (56 , 56) . k=1 и перейти к шагу 1.

112

Итерация 2.

Шаг 1. Для

 

1

= (

5

,

 

5

) : A1 = (1 5)

 

11 = (0) .

x

b

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг 2. f (

 

1 )

= (

7

,

 

13

).

 

Решаем задачу

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

S

1

 

+

13

S

2

max

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

при условиях

S1 +5S 2 0

1 S1 1

1 S 2 1

Решение этой ЗЛП -

 

1

= (1,

1

);

ϕ(

 

1 ) = −

 

22

.

S

S

5

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг 3. Так как ϕ(S 1 ) = −1522 0 , переходим к шагу 4. Шаг 4. Решаем задачу:

f (

 

1 + β

 

 

1 ) =

125

+

22

β

62

β2

max

x

S

 

 

 

 

 

Определяем β* :

8

 

15

 

 

25

 

0ββ*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

*

= min

1/3

 

5 / 6

=

5

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 /5

1/5

12

 

 

 

 

 

Таким образом, решая задачу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

125

+

22 β

 

62

 

β 2

max

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

15

 

25

 

 

 

 

 

 

0 β

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим оптимальное значение β : β1 =18655 .

Шаг 5. Положить:

x 2 = x1 + β1S1 = (3531, 2431) . K=2 и перейти к шагу 1. Итерация 3.

Шаг 1. Для

 

2

= (35

,

24 ) : A12

= (1 5)

 

12 = (0).

x

b

 

 

 

 

 

 

31

 

31

 

 

 

 

 

Шаг 2. f (

 

2 )

= (

32 , 160)

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Решаем задачу

 

31

 

31

 

 

 

 

 

 

32 S

 

 

160 S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

2

max

 

 

 

 

 

 

31

 

 

31

 

 

 

при условиях

S1 +5S2 0

1S1 1

1S2 1.

113

Решение:

S 2 = (1; 51). ϕ(S 2 ) = 0 .

Шаг 3. Так как ϕ(S 2 ) = 0 , задача решена и x * = x 3 = (3531, 2431). На рис. 5.4 проиллюстрирован процесс решения задачи.

x 2

 

1,0

g2 (x ) = 0

 

x 3

 

x 2

g1(x ) = 0

x1 0

Рис. 5.4

2,0

x1

Домашнее задание 5. 3.

Решить задачу нелинейного программирования методом Зойтендейка. Решение проверить графически.

1. 3x1 - 2x2 - 0.5x12 - x22 + x1x2 max 2x1 + x2 2

x1 + x2 2 x1, x2 0

2.3x1 - 2x2 - 0.5x12 - x22 + x1x2 max x1 3

x2 6 x1, x2 0

3.-4x1 + 8x2 - x12 – 1.5x22 + 2x1x2 max x1 + x2 3

x1 - x2 1 x1, x2 0

4.- 4x1 + 8x2 - x12 - 1.5x22 + 2x1x2 max -x1 + x2 1

x1 4 x1, x2 0

114

5. 3x1 - 2x2 - 0.5x12 - x22 + x1x2 max -x1 + 2x2 2

2 x1 - x2 2 x1, x2 0

6.- x1 + 6x2 - x12 - 3x22 - 3x1x2 max x1 - x2 0

x2 5 x1, x2 0

7.6x1 - x2 - 1.5x22 + 2x1x2 max

-x1 + 2x2 2 x1 4

x1, x2 0

8.6x1 + 4x2 - x12 - 0.5x22 - x1x2 max x1 + 2x2 2

-2 x1 + x2 0 x1, x2 0

9.6x1 + 4x2 - x12 – 0.5x22 - x1x2 max 2x1 + x2 2

x2 1 x1, x2 0

10.6x1 + 4x2 - x12 – 0.5x22 - x1x2 max 3x1 + 2x2 6

3x1 + x2 3 x1, x2 0

115

Литература.

1.К.А. Багриновский и В.М.Матюшок. Экономикоматематические методы и модели, М.: РУДН, 1999.

2.Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. М.: ФиС, 1999.

3.Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. СПб., Лань, 2000.

4.Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели в менеджменте. СПб., СПбГТУ, 2000.

5.Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. М.: ФиС, 2000.

6.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике. М.: АО “ДИС”, 1997.

7.Исследование операций в экономике. Под редакцией Н.Ш.Кремера. М., ЮНИТИ, 1997.

8.Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами

EXCEL 7.0. СПб, BHV, 1997.

9.Математическая экономика на персональном компьютере. Под ред. М. Кубонина. М.: ФиС, 1991

10.Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели.

Выполнение расчетов в среде EXCEL. М.: ЗАО ‘’Финстатинформ”, 2000.

11.Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: учебное пособие. М.: ФиС, 1999.

12.Таха Х. Введение в исследование операций. М.: Мир, 1985.

13.В.М. Трояновский. Математическое моделирование в менеджменте. Русская деловая литература, 1999.

14.Хазанова Л.Е. Математическое моделирование в экономике.

М.: Бек, 1998.

15.Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. М.: ЮНИТИ, 2000.

16.Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. М.:

ЮНИТИ, 1997.

116