Перетворення графіків

y = f(x) + b- паралельне перенесення вздовж вісі Оу функції у = /(х)

b > 0 _уТ;6<0 4.

y = f(x-a)- паралельне перенесення вздовж вісі Ох функції у = f(x): а>0х—>;а<0х<-.

у - к ■ f(x) - стягнення (поширення) вздовж вісі Оу функції у = /(х)

ft и

\к\>\ - v|^, ,к\<\ - уЧ-

y = f(k-x) - стягнення (поширення) вздовж вісі Ох функції у = /(х)

к\> \ — х —¥ ^₃ I k ] < 1 — х < ^ .

.У = - fix)- симетрія відносно вісі Ох функції у = /(х).

>’ =^! fix) \ -симетрія відносно вісі Ох від’ємних значень функції у = /(х). v = /! х j - симетрія відносно вісі Оу функції у = /(х).

D = Ь² - 4ас - дискримінант:

якщо D=0 — корені дійсні і рівні

-со < а < +00

К

■ 1-як, к є Z

4

/gx = 0, х = лк, к є Z ж

tax = 1, х =—(- лк, keZ 4

х = arctga + лк, к є Z

arctg(-a) = -arctga гострий, від’ємний кут

якщо D<0 дійсних коренів не має

2а

якщо D>0 — корені дійсні і різні

п.

?х = й,

2а

- 4 ас

Квадратне рівняння має вигляд ах²+Ьх + с = 0 ^хі,2

у = ах' +Ьх + с квадратична функція, графіком є парабола.

Ь

Вершина: х_е у„ =у(х_в); якщо а > 0 —» и;якщо а< 0

-

c»gx = а,

оо < а < +00

Якшо коефіцієнт Ь парний Ь=2к, то корені визначаються ^х

2 [х₁+х₂=-р,

Якщо а = 1, то рівняння - зведене X + рх + ^ = 0 і _

[ ^Х] ' ^Х2 — Ч-

ах² + Ьх + с = а - (х - х,) • (х - х₂)

ctgx = 0, х = —і- лк, к є Z 2

c/gx = 1, х = — + лк, к є Z 4

л

ас

tgx -

arcctg (-а) = л - arcctg а тупий, додатній кут х = -— + як, к є Z

х = arcctg а + лк, к є Z

Похідною функції у = fix) в точці х називається границя відношення приросту функції А у в цій точці до приросту аргументу Ах, коли приріст аргументу прямує до нуля

f'(х)= lim

лх^о Ах'

Ах = х-х₀, х = х₀+Ах, Ау = у(х₀+Ах)-у(х₀).

Основні правила диференціювання функції

1. (С и)'= С-и'; 2. (u ± v)' = u' ± v';

„ ( \Г І , г ( U Л U - V-U-V

З. (и ■ V) = U ■ V + U ■ V ; 4. - = -

V / V²

(/(«(v (*))))' = /„'• «v • v' - похідна складної функції f(x) = (f(u(v(x))));

,/ч_и'(0 . , ... ,/ ч f X = v(t),

J \^Х>~~ТГ: - похідна функції, яка задана параметрично 7w⁼i

v(0 ff- Ь = u{l).

Таблиця похідних елементарних функцій

1. (х^а)' = а-х^а-\ х' = \, (Vx)' =

2-Vx ’

2. (a* )' = a^x Ina, (_e^x)' = e^x.

3. (log_ax)' = —|— (7«x/ = -, x-lna x 4. (sin x/ = cosx, (cos x)' = - sinx,

5. 0& *)' = (c/£x)' =—7~y

COS X sin X

5. (arcsin x)' = i=r (arccos x/ =

л

- X

_L

1 + x² ’

.2

/ї - x² Vl

5. (arctg x)' -——- (arcctg x)' = -

Характерні точки та проміжки функції

Точка х„ називається критичною точкою І роду функції у = fix), якщо

! у'(х₀) = о.

Диференційована функція у = f(x) зростає на проміжку х є (а, Ь) тоді і тільки тоді, коли перша похідна додатна: у Т <Ь у'(х)> 0 ,

Диференційована функція у - f(x) спадає на проміжку х є (а, Ь) тоді і тільки тоді, коли перша похідна від'ємна: /4- О у'(х)<0.

Точка х₀ називається точкою максимуму функції у = fix), якщо існує такий окіл точки Х₀, для всіх точок х якого виконується нерівність /(х)</(х₀). Якщо похідна при переході через критичну точку змінює знак з "+" на :

У_тах(х₀) о у'(х):

Точка х₀ називається точкою мінімуму функції у = /(х), якщо існує такий окіл точки щ, для всіх точок х якого виконується нерівність f (х) > /(х₀) , Якщо похідна при переході через критичну точку змінює знак з на "+": у_шіп(х₀) <=>

Точки мінімуму та максимуму називаються точками екстремуму.

Точка х₀ називається критичною точкоюIIроду функції у = /(х),якщо

у"{ж₀) = 0.

Диференційована функція y = f (х) , х є (а, Ь) називається опуклою на проміжку, якщо всі її точки (крім точки дотику) лежать нижче довільної її дотичної, друга похідна від'ємна: у Г) О у”(х)<0.

Диференційована функція y = f(x) , хє(а,Ь) називається угнутою на проміжку, якщо всі її' точки (крім точки дотику) лежать вище довільної її дотичної, друга похідна додатна: y^J о у"(х)> 0.

Точка графіку функції y = f(x) називається точкою перегину. якщо вона відділяє її опуклу частину від угнутої. Друга похідна при переході через критичну точку змінює знак з "+" на або з на "+":

Г f ^tt f і

У перегину

Загальна схема дослідження функції:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти точки перетину з осями координат.

3. Дослідити функцію на неперервність. Знайти точки розриву та односторонні границі в цих точках. j

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. З'ясувати, чи буде функція парною, непарною, періодичною.

6. Знайти критичні точки І роду.

7. Знайти проміжки монотонності та екстремуми функції.

8. Знайти критичні точки II роду.

9. Знайти проміжки опуклості та точки перегину функції.

10. Побудувати графік функції.

Геометричний зміст похідної: f'(x₀)-k, k = tga.

Похідна функції y-f(x) в фіксованій точці х_а дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, яка проведена до графіка цієї функції в його точці з абсцисою х₀ під кутом а (кут між дотичною та віссю Ох).

Рівняння дотичної: У ~ У₀ — У '₀( ^х — Х₀ ) .

_ )

Рівняння нормалі: У У о ^— , ( ^{х х}оУ.

-Уо

Фізичний зміст похідної:

Миттєва швидкість ? (%) прямолінійного руху матеріальної точки в будь-який момент часу є похідна від шляху S по часу t: S'(t₀) = v.

Прискорення a (t_a)e друга похідна від шляху S по часу t: S"(t₀) - v'(t₀)= а .

сі А

Сила F(x) є похідна роботи А по переміщенню х: ^(х) = -j—.

d А

Потужність N(t) є похідна роботи А по часу t: ^ ⁼

aq

Сила струму 1(1.) є похідна заряду q по часу 1 \ ■'(! )- —jj.

Лінійна щільність р(1) є похідна маси т тонкого стержню по його довжині /:

d т

Функція Fix) називається первісною функції/(х) на проміжку іа\Ь). якщо F(х) диференційована на (а; Ь) і вірна рівність F'(x) = fix), xe(a;b).

Невизначеним інтегралом функції/(х) наз. сукупність усіх первісних

J/(x) dx = F(x) + С.

Визначений інтеграл функції fix) на проміжку (а; Ь) - відповідний приріст її первісної (формула Ньютона-Лейбниця )

b

J

= F(b)-F(a)

а

f(x) dx = F(x)

a

Основні властивості інтегралів

1. (jf(x)dx) = f(x) 5. d (j /їхJ dx) = f (x) dx

2. \d F(x) = F{x) + C 6. \ f(kx + b)dx = —-F(kx + b)+N

k

3. jc ■ f(x) dx = C ■ J/'(.v) dx 7. \{f(x) ± g (xj) dx = \f (x) dx±\g(x) dx

b a b c b

4. jf(x)dx = - jf(x)dx g. jf(x)dx=jf(x)dx+jf(x)dx

a b a a c

Таблиця основних невизначених інтегралів

1. \x^adx-^~- + C ■ [dx = x+ C ⁸' \tgxdx = -\n\cosx\₊C ^J a +1 ’ ^J

a 9. \ctgxdx = \n\smx\+C

2. J— = In | .v | +C

^x c dx , . x . „

10. J = In¹ tg t-C

Стала функція, 9

а< 0, a = 2n + l, nsN. 9

Обернені тригонометричні функції 13

Перетворення графіків 15

ft и 15

л/ї - x² Vl 20

l + t , 1 + ^ і+^²- ^{1 + Ґ} 20

а І, 21

2. fcosxcfe = sinx + C 12. f :-arcsin—+ C

^J 4a —x ^a

2. f—= fgx + C _1Л r 1 , x cos x 13. I— _I = ~arctg~ + C

^J a + x a a

2. f-^- = -cfgx + C , , f dx 1 _1я, ^ -^а і , /-> ^jsm'x 14. H j- =* —— In | !+C

^Jx -a 2a x + a

Основні методи інтегрування:

безпосереднього інтегрування: після алгебраїчних перетворень підінтегральної функції та застосування властивостей інтегралів, звести даний інтеграл до табличних інтегралів;

\/⁽Х> & = 1= і/(т)

заміни змінної:

інтегрування частинами: виконати заміну функцій таким чином, що за змінну и беремо функцію, яка при диференціюванні змінює свою природу

(наприклад: и = 1пх, сій = —; и = агс^ х, <іи = -^Х - )

X 1 + х'

Ґ Р(х) ,

раціональних дробів: і ~~ ^ВИД^ШИТИ Ц^,ЛУ частину; розкласти

знаменник 0(х) на простіші множники; розкласти правильний раціональний дріб на простіші дробі (знайти невизначені коефіцієнти); знайти кожен новий інтеграл (за допомогою попередніх методів);

інтегрування тригонометричних функцій |/?(5Іпх.собх)сіх ; після перетворень тригонометричних функцій (див. с.12) до табличних інтегралів;

х

за допомогою універсальної підстановки tg— = t; х = 2 аг^ І;

2. dt . ²^2 2/ \~~tg² “ і__?² йх~ С05х — -

->5 ОШ Л — — О Л- — —

l + t , 1 + ^ і+^²- ^{1 + Ґ}

Застосування визначеного інтеграла Геометричні задачі

ь

Площа плоскої фігури : в прямокутних координатах;

S = — JP (<p)d(p - в полярних, S ⁼ т ]v(t)(p(t)dt -_в параметричній формі.

2

и ч

Ь

Довжина дуги кривої. І ⁼ |V*⁺ (f(^x)Y dx •

і = +(р'(<р))^: л<р\ і= І^х'У +(у')² аі,

а І,

Площа поверхні обертання 5 = 2,т [>\/1 +(у')~ сі х

5^[=2п\у-\(х')² +(у')² сіі_; 5= Ур² + (р'(ср))² сі(р_

^а

Ь

Об’єм тіла обертання з відомим поперечним січенням ^ ^х) ^х ■

ь

і Ох У_х = л\у²(х)сіх.

ВЗДОВЖ ВІСІ

а

сі

ВЗДОВЖ ВІСІ Оу УV ~ Я $^Х (У~)^у.

с

Фізичні задачі

Шлях, що проходе точка за проміжок часу [/,,7₂] , якщо швидкість

¹2

визначається формулою V =/(і): & — }/(О ^ І.

Статичні моменти М_х — \у сіЬ ^ М_у = сі І ₎ де сі Ь = у]\ + (у )" сіх.

Стала функція, 9

а< 0, a = 2n + l, nsN. 9

Обернені тригонометричні функції 13

Перетворення графіків 15

ft и 15

л/ї - x² Vl 20

l + t , 1 + ^ і+^²- ^{1 + Ґ} 20

а І, 21

⁼ ^\^{Х<І5 =} ^\^ХУ^(ІХ, У = -^\у^сіб=-^\у^1(ІХ, сіБ - у сіх.

Робота змінної сили А = \/(х)<Ьс,

Наближене обчислення визначеного інтеграла:

Ь-а

ф

Л +/з ⁺- ⁺ ^ і

У 2 2 и

ормула прямокутників |/(х)с&:

ф

Ь ~ а ( /о + /„

_[/(*) <& *

ормула трапецій формула Сімпсона

/о + /„

Ь-а

]/(*)<& >

+ /і +/г +---+Л-1 +2

Зп

/і + /з +•••+/ і

4 2 2 2 УУ

Література

і '

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Наука,

1968.-784 с.

2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, 1975.-416 с.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математике. -М.: Наука, 1986.-576 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, 2 ч. — М.: Высшая школа, 1986. — 304 с.

5. Сборник задач по математике (для поступающих в ВУЗы). Сканави М.И. - К.: Каннон, 1997,- 527 с.