Математики . Дніїфонефотт.К д.Дл у, 2011. 24 і

Рекомендовано до друку рішенням Вченої І'тЧі Чн/п/чнп'шрнтькн.'о (Н'ржшшого аграрного університету ( протокол № 10 «м шбіШОІк >

Даний довідник містить матеріал по темі „Функції, їх графіки та властивості”. В ньому наведено необхідний теоретичний матеріал в стислому вигляді (основні поняття та означення); певна кількість корисних порад щодо використання властивостей функцій та їх графіків для розв’язування рівнянь, нерівностей; формули диференціюішніїїі та інтегрунампм функції) та приклали їх ніс тушіння для ріиі^мми ІфИИЛЙДННК ІІІІІІІ'І,

Мнні ним Оу ні ніі|іиі ним і п 1НЧИМ ніш птичого відділення, студентам денної

ї ї ііііічііі'і і|иі|ц мчмн мнит тім бажаючим повторити, детальніше

і п|ііі<> на і и мн'інмініі курі алгебри та використовувати знання дли рішення

ІіріІИШНІІН НІ ІІІДНЧ,

Рецензенти: Тїман М.П., зав. каф. вищої матемш пкп ДДД N .

д.ф.-м.и., професор;

Рибникова Т.І., зам. декана мох, маї фину щ,юту, к.ф.-м.н., доцент каф. матсм. шіниі і\ ДІІV

Функцією називається залежність змінної у від змінної х, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у. Функцію позначають за допомогою рівності y=f(x), яка символічно означає залежність між двома змінними. Змінну х називають незалежною, або аргументом, а змінну у - залежною.

Основні способи завдання функції.

1. за допомогою формули (аналітичний);

2. за допомогою таблиці (табличний);

3. за допомогою графіка (графічний).

Основні елементарні функції.

1. Степенева: у — х", пєЯ.

2. Показникова: у = а^х, а > 0, а Ф 1.

3. Логарифмічна: y — log_ax, а > 0, аф 1.

4. Тригонометричні: y-sinx, у = cosх, у = tg х, y-ctgx.

5. Обернені тригонометричні: у —arcsinх, у —arccosх

у - arctg х, у = arcctg х

Графіком функції v=f(x) називається множина точок М(х;/(х)) координатної площини, абсциси яких належать області визначення функції, а ординати є відповідними значеннями цієї функції.

Областю визначення функції називається множина значень, яких набуває незалежна змінна х (вираз має сенс).

Множиною значень, або областю зміни функції називають множину відповідних значень залежної змінної у, яких вона набуває при всіх значеннях х з області визначення функції.

Монотонність:

Функція y=f(x) називається зростаючою. якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто для будь яких двох значень х; і х₂ змінної х, взятих з області визначення виконується нерівність

X₂>Xi => f(x₂)>f(xі).

Функція y=f(x) називається спадною, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто для будь яких двох значень X/ і х₂ змінної х, взятих з області визначення виконується нерівність

х₂>х, => f(x₂)<f(xi).

з

ІІІаирона О І. І <>| «'.И „Функції, їх графіки їм н им і нмогті". Довідник з

математики . Дніїфонефотт.к Д.ДЛ У, 2011. 24 і

Рекомендовано до друку рішенням Вченої І'тЧі Чн/п/чнп'шрнтькн.'о (Н'ржшшого аграрного університету ( протокол № 10 «м шбіШОІк >

Даний довідник містить матеріал по темі „Функції, їх графіки та властивості”. В ньому наведено необхідний теоретичний матеріал в стислому вигляді (основні поняття та означення); певна кількість корисних порад щодо використання властивостей функцій та їх графіків для розв’язування рівнянь, нерівностей; формули диференціюішніїїі та інтегрунампм функції) та приклали їх ніс тушіння для ріиі^мми ІфИИЛЙДННК ІІІІІІІ'І,

Мнні ним Оу ні ніі|іиі ним і п 1НЧИМ ніш птичого відділення, студентам денної

ї ї ііііічііі'і і|иі|ц мчмн мнит тім бажаючим повторити, детальніше

і п|ііі<> на і и мн'інмініі курі алгебри та використовувати знання дли рішення

ІіріІИШНІІН НІ ІІІДНЧ,

Рецензенти: Тїман М.П., зав. каф. вищої матемш пкп ДДД N .

д.ф.-м.и., професор;

Рибникова Т.І., зам. декана мох, маї фину щ,юту, к.ф.-м.н., доцент каф. матсм. шіниі н ДІІV

Функцією називається залежність змінної у від змінної х, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у. Функцію позначають за допомогою рівності y=f(x), яка символічно означає залежність між двома змінними. Змінну х називають незалежною, або аргументом, а змінну у - залежною.

Основні способи завдання функції.

1. за допомогою формули (аналітичний);

2. за допомогою таблиці (табличний);

3. за допомогою графіка (графічний).

Основні елементарні функції.

1. Степенева: у — х", пєЯ.

2. Показникова: у = а^х, а > 0, а Ф 1.

3. Логарифмічна: y — log_ax, а > 0, аф 1.

4. Тригонометричні: y-sinx, у = cosх, у = tg х, y-ctgx.

5. Обернені тригонометричні: у —arcsinх, у —arccosх

у - arctg х, у = arcctg х

Графіком функції v=f(x) називається множина точок М(х;/(х)) координатної площини, абсциси яких належать області визначення функції, а ординати є відповідними значеннями цієї функції.

Областю визначення функції називається множина значень, яких набуває незалежна змінна х (вираз має сенс).

Множиною значень, або областю зміни функції називають множину відповідних значень залежної змінної у, яких вона набуває при всіх значеннях х з області визначення функції.

Монотонність:

Функція y=f(x) називається зростаючою. якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто для будь яких двох значень х; і х₂ змінної х, взятих з області визначення виконується нерівність

х₂>хі => f(x₂) >f(x ]).

Функція y=f(x) називається спадною, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто для будь яких двох значень X/ і х₂ змінної х, взятих з області визначення виконується нерівність

х₂>х, => f(x₂)<f(xi).

з

Нулі Функції - значення зм і піки \ і шімш н ми іни'їмннм, мри яких виконується рівність f(x)=0. Графік функції мер«.' і пмін іііі і. <

Знакосталість:

Функція y=f(x) називається додатно ні. НКПЩ /НІН Оу/и. н кого значення х з області визначення значення функції/долиml Ц\) 0 Графік функції знаходиться вище вісі Ох,

Функція y=f(x) називається від'ємною. якщо дим Пумі, якою значення х з області визначення значення функції у від'ємні: /(,\) І)

Графік функції знаходиться нижче вісі Ох.

Парність

Функція y=f(x) називається парною. якщо для будь якого кінчений х (з області низначення значення) (-х) також належить області визначення і виконується рІинІСТі. Ц-х) f(х).

І рпфік иирпої функції симетричний відносно осі Оу.

Функіїїм г Ц\) нігіпиїн ГІ.ОІ ііспапноіо. якщо для будь якого значення х (з

шімт її ііімчсшін) і х) також належить області визначення і

ННКОІіуі І Ііі'Н |ІІИІІІІ ІІі, Ц V^ /і\і

І рифіїї Ні'ІІІІрНИЇ ф\ III. ІІІІ і ІІМСіріІЧПНІ) МІНИМ но почіпку координат. Періодичність

Функція у-f(x) називається періодичною \ періодом /XI, якщо для Пуді, якого х з області визначення функції чинш \ ¹ І їм » / шкож належнії, області визначення і виконується умови / м І) Ц\) / (\ і і)

Неперервність

Функція г І(\), V» Л' lilt ІИШІСІ І«СМ ІЩШІШІЖ В ТОЧЦІ якщо функція НИ'ІІІПЧСЧІМ II ІОЧІІІ V„ III ИСЯКОМУ її ОКОПІ, Існує Нм J(x) та виконується

ріиністі.: Um f(x)= lim f(x) = f(x₀).

.V -4.Vo “0 ,)f->X₀+0

У випадку, коли не виконується хоча б одна умова, то точка х₀ - точка розриву, які бувають:

• точка розриву 1-го роду (усувний розрив), якщо

lim f(x)= lim f(x) але Um f (х)Ф f (x₀) •

JC-»X₀ -0 ;r-KX₀+0

• точка розриву 1-го роду (неусувний розрив), якщо

lim /(х)Ф lim f(x)-

х—-О .V-^A'u I 0

• точка розриву 2-го роду, якщо хоча б однії і тішиш. Um J(x) _або

А’ >Х{) 0

Um f(x) не існує чи дорівнює нескінченності.

ДГ->Х₀ +0 ¹

г

Асимптота функції - це пряма у = кх + Ь,до якої необмежено наближається графік функції при нескінченному прямуванні незалежної змінної.

к = Ііт^—^ Ь = Ііт (/(х)- к • х).

*->°° X ’ Х->со |

Графік функції має:

• похилу асимптоту, якщо значення к та 6 скінченні;

• горизонтальну асимптоту У = Ь, коли к = 0 , яка паралельна вісі абсцис.

• вертикальну асимптоту х = а, яка паралельна вісі ординат, якщо

1іт /(х) = ±ао _

х-*а

Функції називається явною, якщо рівняння /(Зс,у)=0, якому задовольняють відповідні значення х і у, розв’язується відносно у = <р(х). У противному випадку - неявною.

Функція у= і(х) називається обмеженою. якщо область її значення є обмеженою, тобто існує число г>0 таке, що |/(х)|<г для всіх хєХ. Геометрично це значить, що графік функції розташований між прямими у= - г,

у=г.

Функція у= іїх), визначена на проміжку X називається оборотною, якщо будь яким значенням аргументу відповідають різні значення функції. Якщо функція у=/(х) монотонна на проміжку X, то вона оборотна.

Оберненою до даної оборотної функції _у= Дх) називається така функція х = <р(у), яка кожному у із множини значень функції у= Дх) ставить у відповідність єдине число х із її області визначення. Якщо поміняти позначення незалежної і залежної змінних, то обернену функцію до у= /(х) запишемо у вигляді у = <р(х).