Решение типовых примеров

1.20. Для функции , , , и , найти , чтобы для любых , удовлетворяющих условию 0< < , выполнялось неравенство < .

Решение. Так как , , , , то

.

Будем искать нужное среди . Для , удовлетворяю­щих неравенству , имеем и . Поэтому

.

Теперь если , то для него найдем из равенства , т.е. . Если же , то полагаем , т.е. . Заме­тим, что найденные .

2.20. Пользуясь определением предела по Коши (на «языке »), дока­зать, что .

Решение. Так как , , , , то

.

Возьмем и будем искать нужное среди . Тогда . Поэтому и

.

Тогда, если , то для всех и . По­этому, положив , будем иметь, что при для и справедливо неравенство

.

Итак, показано, что .

3.18. Используя определение предела функции по Гейне (на языке по­следо­вательностей), доказать, что не существует предела , если , .

Решение. Для последователь­ности

, .

С другой стороны,

, а .

Из определения предела по Гейне следует, что предел не сущест­вует.

4.20. Используя логические символы (на языке «  ») сформулиро­вать ут­верждение и привести соответствующие примеры, если , .

Решение. На языке « » та­кое, что .

Пример: , , .

5.18. Найти односторонние пределы , где , , или показать, что эти пре­делы не существуют. Если существует , найти его.

Решение. Покажем, что не существует . Для доказатель­ства вос­пользуемся оп­ределением предела по Гейне: при

, ;

, .

Итак, показано, что не существует . Аналогично по­казыва­ется, что не существует . Таким образом, показано, что не сущест­вует .

6.20 Пользуясь определение предела по Коши, доказать, что число не яв­ляется , если , , , .

Решение. Нужно показать, что такое, что , удовлетворяющее усло­вию , для которого . Возь­мем . Для любого положим . Тогда

и .

Нужное утверждение доказано.

7.18 Найти и , если , , .

Решение. Так как , то . Поэтому если – час­тичный предел в точке , то . С другой стороны, имеем: при

, а ;

, а .

Следовательно, , а .

Лабораторная работа № 8

Замечательные пределы. Вычисление пределов.

Необходимые понятия и теоремы: первый и второй замечательные пределы, предел и арифметические операции, пределы монотонной функ­ции, предел композиции, критерии Коши существования предела.

Литература: [1] с. 170 – 180; [2] с. 56 – 66; [6] с. 98 – 102, 128–137.

1 Используя свойства пределов и известные пределы, вычислить :

№	A		B		C
1	2	3	4	5	6	7
1.1	0		4		0
1.2	1		16		1
1.3	+∞		8
1.4			2		0
1.5	1		1		0
1.6	2		1		1
1.7	1		0		0
1.8	3				1
1.9	1		1
1.10			1		+∞

1	2	3	4	5	6	7
1.11					+∞
1.12	1		1		1
1.13	0		0		+∞
1.14	1		1		+∞
1.15	1		16		+∞
1.16			1		+∞
1.17			4		+∞
1.18	1		1
1.19			1
1.20	1		1		1