5 Для последовательности найти и :

№		№
1	2	3	4
5.1		5.11
5.2		5.12
5.3		5.13

1	2	3	4
5.4		5.14
5.5		5.15
5.6		5.16
5.7		5.17
5.8		5.18
5.9		5.19
5.10		5.20

Решение типовых примеров

1.19 Пользуясь критерием Коши, установить сходимость или расходимость последовательности

, где , .

Решение. Согласно критерию Коши, последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна, то есть

: .

Возьмем любое и рассмотрим разность

.

Найдем теперь из неравенства . Имеем . Следовательно, . Полагая теперь , получим, что при и выполняется неравенство .

Таким образом, последовательность является фундаментальной и, согласно критерию Коши, сходится.

1.20 Пользуясь критерием Коши, установить сходимость или расходимость последовательности .

Решение. Покажем, что данная последовательность не сходится. Для этого достаточно показать, что она не удовлетворяет критерию Коши, то есть

: .

В нашем случае

.

Пусть . Тогда получим . Рассмотрим . В этом случае , , т.е. последовательность не является фундаментальной, а значит, и не сходится.

2.20 Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности

Решение. Так как

,

то – возрастает.

Покажем, что последовательность ограничена. Учитывая неравенство , , имеем:

,

т.е. . Откуда . Значит, – монотонна и ограничена. Тогда по теореме о сходимости монотонной и ограниченной последовательности сходится.

3.20 Вычислить пределы:

А) , Б) , В). .

Решение.

А) Имеем:

= = .

Б) Так как , то будем иметь

.

В) Поскольку а последовательность является бесконечно малой, то произведение также будет бесконечно малой последовательностью, т.е.

.

4.20 Вычислить пределы:

А) , Б) , В) .

Решение.

А) Так как , то будем иметь

.

Б) Если то . Поэтому при

.

Так как , то по теореме о предельном переходе в неравенствах .

В) Так как и при

,

т.е. , то по теореме о предельном переходе в неравенствах , то есть . Следовательно,

.

5.20 Для последовательности = найти и .

Решение.

При имеем , и, значит, , , причем .

При или имеем , и, значит, , .

При имеем , значит, , .

Таким образом, числа являются частичными пределами данной последовательности. Рассмотренные четыре подпоследовательности , , , составляют вместе всю данную последовательность. Отсюда следует, что других частичных пределов данная последовательность не имеет.

Очевидно, , .

Лабораторная работа № 7

Предел функции

Необходимые понятия и теоремы: различные определения предела функции, общие свойства предела функции, предел и неравенства, предел и арифметические операции, предел композиции, критерий Коши сущест­вования предела, односторонние пределы, бесконечные пределы, частич­ные пределы.

Литература: [1] с. 163 – 180, [5] с. 47 – 72.

1 Для функции , , заданных , и найти такое , чтобы для любых , удовлетворяющих условию 0< < , выполнялось неравенство <

№
1	2	3	4	5	6	7
1.1			0	1	0,1	0,001
1.2			1		0,01	0,001
1.3			1	1	0,1	0,002
1.4				1	0,01	0,001
1.5			0	1	0,1	0,01
1.6			1	1	0,01	0,001
1.7			3	6	0,1	0,001
1.8			0		0,02	0,002
1.9			1	1	0,3	0,003
1.10			1	1	0,1	0,01
1.11			0	1	0,2	0,01
1.12			1	0	1	0,001

1	2	3	4	5	6	7
1.13				1	0,01	0,001
1.14				-1	0,1	0,002
1.15			3	4	1	0,0001
1.16			0	1	0,1	0,001
1.17			0	1	0,1	0,01
1.18			0	0	0,1	0,001
1.19			1	2	0,2	0,01
1.20			1	3	0,1	0,001