4. Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле.

В XVII в. Кеплер открыл и сформулировал законы движения планет:

1. Планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Радиус-вектор, проведенный о Солнца к планете за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

На их основе Ньютон установил, что сила притяжения между планетой и Солнцем прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между планетой и Солнцем: .

где М – масса Солнца, m–масса планеты, R – расстояние между ними. Ньютон также доказал, что этот вывод справедлив не только для небесных тел, но и для любых двух материальных объектов и сформулировал закон всемирного тяготения: между любыми двумя телами действует сила тяготения, прямо пропорциональная массам тел и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними: ,

где  – гравитационная постоянная, – единичный вектор.

Границы применимости закона всемирного тяготения: а) оба тела материальны точки; б) взаимодействуют два шара любых размеров; в) большое тело имеет форму шара, малое – любую форму.

Гравитационная постоянная численно равна силе тяготения, которая действует между телами единичной массы, находящимися на расстоянии 1 м. Она имеет значение: =6,67.10^-11 ( ). Впервые величина  была определена в лаборатории Кавендиша с помощью крутильных весов в 1798 г. (рис.4.1.) Она определялась по углу закручивания проволоки, на которой было закреплено коромысло, а на его концах подвешены пробные шары малой массы. Вблизи них располагались два массивных шара, расположенные на тяжелом фундаменте. Поворотом этого фундамента большие шары приближались к малым, в результате маленькие шары притягивались к большим.

Ньютон не указал причину тяготения, но высказал мысль о посреднике действия между телами. В настоящее время по аналогии с электромагнитным полем посредником принято считать гравитационное поле – особая форма материи, окружающее любое тело. Каждая точка поля тяготения характеризуется напряженностью и потенциалом . является силовой характеристикой гравитационного поля, а  является энергетической характеристикой поля.

Пусть тело М – источник поля. Тогда в точке, где находится тело m, напряженность поля: . Подставим вместо его значение, получим: (1).

Можно показать, что – это ускорение, испытываемое телом, помещенным в данную точку поля. Поле тяготения всем телам сообщает одинаковое ускорение.

Силы тяготения – это консервативные силы. Можно поэтому ввести в рассмотрение соответствующую потенциальную энергию, которая для тел, находящихся на расстоянии r друг от друга определится как:

(2).

Гравитационный потенциал точки поля, в котором находится тело m, равен . Подставляя вместо Е_п его значение , найдем, от каких физических факторов зависит  (в случае точечного источника поля): (3). Из (1)-(3) вытекает связь между и :

. (4)

Здесь – градиент потенциала, показывает, как изменяется потенциал при изменении r. Знак минус указывает на то, что вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала.

Графически напряженность и потенциал характеризуются линиями напряженности и эквипотенциальными поверхностями. Касательная к линии напряженности в данной точке совпадает с вектором . Все точки эквипотенциальных поверхностей имеют одинаковые значения потенциала поля. Из (4) вытекает, что эквипотенциальные поверхности перпендикулярны линиям напряженности. Например, вблизи поверхности Земли поле можно считать однородным, а эквипотенциальные поверхности параллельными поверхности Земли.