3. Законы сохранения в нерелятивистской механике.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Все тела, не входящие в рассматриваемую механическую систему , называются внешними, а силы, действующие со стороны этих тел, называются внешними силами. Силы взаимодействия частей самой системы называются внутренними.

Пусть – сумма всех внешних сил, действующих на i-ю точку системы, – импульс механической системы. Используя законы Ньютона , можно получить закон изменения импульса механической системы: –производная по времени от импульса механической системы равна вектору внешних сил, действующих на систему.

Рассмотрим замкнутую изолированную систему. Механическая система, на которую не действуют внешние силы, называют замкнутой системой. Тогда =0. Из закона динамики для системы тел (материальных точек): (1)

Из (1) следует, что или (2)

Мы пришли к закону сохранения полного импульса изолированной системы: при любом характере взаимодействия тел, образующих замкнутую систему, вектор полного импульса этой системы все время остается постоянным.

Закон сохранения полного импульса изолированной системы – это универсальный закон природы. В более общем случае, когда система незамкнута, то полный импульс незамкнутой системы не остается постоянным. Его изменение за единицу времени равно геометрической сумме всех внешних сил.

Энергия–это единая количественная мера различных форм движения материи и соответствующих форм взаимодействий. В механике различают кинетическую и потенциальную энергию.

Кинетической энергией называют энергию движущегося тела. Она зависит от скорости движения тела и ею обладают все движущиеся тела. Ее величина определяется формулой , где С – произвольная постоянная. В классической механике обычно считают С=0.

Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия тел или частей одного и того же тела. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести = , потенциальная энергия упруго деформированного тела – .

Полная механическая энергия системы . Для системы материальных точек – изменение полной механической энергии в незамкнутой консервативной системе равна работе внешних сил.

Консервативной называется система, в которой работа сил при перемещении по замкнутому контуру равна нулю.

Если консервативная система замкнута, то внешние силы отсутствуют:   E = const.

закон сохранения замкнутой консервативной системы: Сумма кинетической и потенциальной энергии всех материальных точек, входящих в замкнутую консервативную систему, остается величиной постоянной, какие бы изменения не происходили.

Если система подвергается действию неконсервативных (диссипативных) сил, механическая энергия убывает, переходя в другие виды энергии (например, тепловую при действии сил трения). Но в целом энергия остается постоянной. Тогда в соответствии со всеобщим законом сохранения и превращения энергии – энергия никуда не исчезает и не появляется вновь, а лишь переходит от одного тела к другому или превращается из одного вида в другой.

Если материальная точка массой m_i движется по окружности радиуса r_i вокруг неподвижного центра под действием силы , то – момент инерции материальной точки относительно точки О, а моментом силы относительно заданной оси вращения называют величину . Величина –плечо силы, тогда модуль момента силы: определяется как произведение силы на плечо. Любое твердое тело рассматривается как система материальных точек и момент инерции твердого тела определяется как

Уравнение движения такого тела называют основным законом динамики вращательного движения и оно имеет вид , где –вектор углового ускорения: . В дифференциальной форме этот закон : . Введем понятие момента импульса, которое определяется формулой . Тогда . В замкнутой системе момент внешних сил и  , откуда:

,

где – векторная сумма моментов тел, входящих в эту систему. Данное выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, то есть не изменяется с течением времени.