- •Глава 7. Представление суждений, правила вывода, принцип резолюций.
- •7.1. Формальные языки
- •С предприятием «Гран» не может быть заключен новый контракт.
- •7.2. Интерпретация выражений языка исчисления предикатов
- •7.3. Логические выводы в формальной системе исчисления предикатов первого порядка
- •Предприятие ао «Изотоп» подлежит процедуре санации.
- •7.4. Логические выводы на основе принципа резолюции
- •7.5. Немонотонные выводы
- •7.6. Логика веры и знания
7.5. Немонотонные выводы
Обычные дедуктивные системы логики не позволяют прямо формализовать модифицируемые рассуждения. Они обладают свойством монотонности: множество теорем растет лишь с увеличением множества основных аксиом.
В формальной системе дедукции определено отношение выводимости -, которое:
рефлексивно: {р1 ...,pn,q} |-q,
монотонно: если {p1, ...,pn,q} |-q, тo{p1, ...,pn} -q,
транзитивно: если { p1, ...,pn} -r и{ р1 ..., pn,r} |-q,
тo{p1,...,pn}|-q.
Здесь р1 ..., pn, q, r — формулы рассматриваемого логического языка.
Отношение семантического следования |= между множеством посылок А и заключением р определяется как : А |= р, если любая модель для А является моделью для р.
Немонотонные логические системы — это логики, в которых введение новых аксиом может уточнить старые теоремы. Такие логики очень важны при моделировании реальных процессов, которые в присутствии неполной информации могут создавать и затем пересматривать предположение в свете новых наблюдений. Неудовлетворенность обычной логикой состояла в том, что было неясно, как работать с неполным знанием. В области искусственного интеллекта изучение восприятия, неоднозначности и общеизвестных знаний привело к представлению знаний с эксплицитным включением информации относительно типичных случаев ошибок и методов обработки ошибок. Много работ было выполнено по автоматическому доказательству теорем для исчисления предикатов первого порядка. Неполная информация представлена в этих системах как дизъюнкция нескольких возможностей, но отдельные дизъюнкты могут быть независимы от этих аксиом.
Для того чтобы не перечислять в базе знаний все неполные знания, все, что неопределенно, считают заведомо ложным. Это называют гипотезой закрытого (ограниченного) мира (closed world assumption).
Классическая логика исходит из предпосылки, что набор определенных в ней аксиом (знаний) полон, и истинность вывода не нарушается, даже если впоследствии добавляется новая аксиома. Такое свойство называется монотонностью.
Классическая символическая логика не располагает средствами для описания того, как скорректировать имеющуюся формальную теорию, чтобы иметь возможность учесть противоречия, вызванные поступлением новой информации. Дело заключается в том, что сделать выбор между альтернативными вариантами пересмотра имеющихся аксиом очень трудно.
Важным шагом на пути к этому является введение двух различных проблем, которые могут быть названы пересмотр процедур и реорганизация модели мира.
Традиционные логики являются монотонными вследствие того, что теоремы теории всегда являются подмножествами теорем любого расширения теории. В данной статье под теорией мы понимаем множество аксиом. Более точно, выражение монотонности заключается в следующем: если А и В — две теории и АВ, тогда Th(A)Th(B), где Th(S)={p:S - р} — множество теорем S. Монотонные логики имеют тот недостаток, что при поступлении новой информации необходимо всякий раз пересматривать существующие выводы. Понятие немонотонной логики вводится, отправляясь от классических логик, путем их расширения за счет введения модальностей, в частности, модальности «консистент» (совместный), которая обозначается М. Неформально Мр обозначает, что р совместно со всеми теоремами. Будем использовать обозначение Lp для выражения Mp, читая Lp как («возможно совместно р»).
Пусть L — язык упомянутых теорий, который имеет бесконечное число знаков констант, знаков переменных предикатных символов.
Правила образования правильно построенных формул такие же, как в исчислении предикатов первого порядка, рассмотренных нами ранее.
К числу формул в немонотонной логике добавляется цепочка Мр. Переменная х свободна в Мр если и только если х свободна в р. Символы С, D, Е, F — будут использоваться как синтаксические переменные, изменяющиеся по пропозициональным символам констант. Буквы р, q и г будут использоваться для формул. Если Q — конечное множество формул, то мы если не оговорено противное, предполагаем, что она представляет собою конъюнкцию ее составляющих.
Например, Q р означает, что конъюнкция всех составляющих Q влечет р. В качестве правил вывода используются правила вывода исчисления предикатов первого порядка, включая следующий бесконечный класс аксиом:
1.p[qp];
p [q r] [[p q] [q r];
[ q p][[ q p] q];
4. x p(x) p(t), где p(x) — формула и t — константа или свободная переменная для х в р(х) и p(t) означает результат подстановки t для каждого вхождения х в р(х) и
5. x[pq] [pxq], если р — формула, не содержащая свободных вхождений х. Это логические аксиомы. Все другие аксиомы называются собственными или нелогическими аксиомами. Теория, в которой нет собственных аксиом, называется исчислением предикатов. Исчисление высказываний включает только аксиомы 1,2,3.
Мы можем получить различные варианты немонотонных логических систем, добавляя к этим аксиомам все или некоторые из следующих правил немонотонного вывода:
AS1:Lpp.
AS2: L(p Я) (Lp Lq).
AS3:(()Lp)L()p.
AS4: LLp Lp.
AS5:MpLMp.
Правилами вывода являются
Модус поненс; р,р q —> q,
Универсальная генерализация: р —> p,
Необходимость: р —>Lp.
Мы получаем различные модальные системы, выбирая различные подмножества из этих формул. Наиболее слабая — модальная система Т содержит аксиомы AS1 и AS2. AS1,AS2 и AS4 образуют модальную систему S4, AS1,AS2, AS4 и AS5 образуют модальную систему S5. Рассмотрим монотонные правила вывода, обозначая через А и В теории.
Если S — множество формул и р следует из S и аксиом А по правилу модус поненс и генерализации, S -рc р. Мы выводим сокращение для -рc в виде |-.
Мы вводим оператор Th, определив его следующим образом:
Th(S)={p:S|-p}.
Оператор Th(S) обладает следующими свойствами монотонности:
ATh(A);
если АВ, тогда Th(A) Th(B); а также
свойством идемпотентности Th(Th(A)) = Th(A).
Ясно, что любая классическая система удовлетворяет этим требованиям. Свойство 3 можно рассматривать как уравнение для нахождения фиксированной точки оператора, говорящее о том, что множество теорем, монотонно выводимых из теории, представляет собой фиксированную точку оператора, который вычисляет замыкание множество формул для монотонных правил вывода. Известное свойство монотонных правил вывода — это то, что Th(A) есть пересечение всех S таких, что AS и Th(S) = S, где А — любая теория первого порядка, L — язык теории, S с L — подмножество аксиом языка.
Рис 7.2. Графическое представление соотношений между теориями:
. А Th(A), (Th(A)AsA(S))NMA(S),
Th(A)AsA(S) = ,
(LS)-NMA(S) =
А Th(A), Th(A) — множество теорем, монотонно выводимых из А
Для того чтобы иметь дело с немонотонной логикой, нам необходимо новое правило вывода. Вместо понятия выводимости |-, используемого в монотонной логике, мы определим оператор NM.
NMA(S) = Th(AAsA(S)), т.е. теория, состоящая из всех предложений, вытекающих из А и множества допущений AsA(S) (assumptions) теории S.
AsA(S) — множество допущений в S.
AsA(S) = {Mq : q L и qS} -Th(A).
Заметьте, что теоремы А вида Mq никогда не рассматриваются как допущения (а только как аксиомы). NMA берет множество S и производит новое множество, которое включает Th(A), но включает также много больше: все доказуемое из расширенного множества аксиом и допущений, которое составляет оригинальную теорию вместе со всеми допущениями, не определенными S.
Рассматривая NMA как совокупность немонотонных правил вывода, определим по аналогии с монотонным случаем ТН(А) — множество теорем, немонотонно выводимых из А по аналогии с монотонным случаем как наименьшую фиксированную точку NMA. Это определение пытается объединить немонотонное правило вывода с теорией первого порядка. Определим формально ТН следующим образом:
ТН(А) = ({Z,}{S:NMA(S) = S}.
Таким образом, множество доказуемых формул есть пересечение всех фиксированных точек NMA.
Фиксированная точка S = NMA(S) показана на рис. 7.2. Может случиться, теория не имеет фиксированной точки, а если точка имеется, то она не единственная.
Мы будем использовать А|~ р чтобы указать, что р ТН(А). Будем называть FP(A) множество {S: NMA(S) = S}.
Другой системой, позволяющей учитывать изменения теории по мере поступления новых знаний, является логика умолчаний Рейтера. Особенности логики умолчаний поясним на примере. Знание «как правило, совершеннолетние имеют паспорт» можно представить в виде следующей логической формулы: x гражданин (х) M паспорт (х) паспорт (х). Смысл этого выражения заключается в том, что х — гражданин, х имеет паспорт, если это не противоречит другим знаниям. Теперь рассмотрим систему аксиом, состоящих из следующих знаний:
x гражданин (х) М паспорт (х) паспорт (х),
x гражданин (х) военнослужащий (х)паспорт (х),
гражданин (Александров),
военнослужащий (Александров).
Из этой системы аксиом можно сделать вывод «паспорт (Александров), т.е. что военнослужащий Александров имеет паспорт в то время как удостоверением личности военнослужащего является военный билет. В систему аксиом выведено дополнение военнослужащий (Александров). После этого делается вывод «паспорт (Александров).
В немонотонной логике основная проблема с введением логического обозначения М, Мр состоит в следующем. Пусть в базе знаний (системе аксиом) существуют знания (логические формулы).
{Mp,q, Mq p}
{Возможно, солнечно нет дождя}
{Возможно, дождь нет солнца (пасмурно)}
Тогда для решения возможны две ситуации: решение, которое включает - р, но не включает q, (пасмурно, нет дождя) и решение, которое включает q, но не включает р (нет дождя, солнечно). При этом нельзя сделать вывод о том, может ли р или q являться решением, т.е. не определена неподвижная точка.
В логике умолчания Рейтера формулы со знаком М используются только в предпосылках правила вывода. Рассмотрим в новой записи формулы
гражданин (х): М паспорт (х)
паспорт (х)
Как отмечается выше, при этом возможно несколько решений и возникают ситуации, когда решение нельзя определить однозначно, соответствующее решение рассматривается как один из возможных миров и называется «сужением» системы аксиом. Переход от одного выбранного решения к другому рассматривается как переход между возможными мирами. Общая формула:
Запись, в которой формула после знака М в предпосылке совпадает с формулой в выводе, называется нормальным умолчанием. Если (х),(х)не содержат свободных переменных, умозаключение называется закрытым нормальным умолчанием.
Модальной логикой называют раздел формальной логики, в которой наряду с утверждениями и отрицаниями (ассеторическими высказываниями) исследуются так называемые сильные и слабые утверждения и отрицания (модальные высказывания). Например, усилением ассеторического высказывания «предприятие А принадлежит ЗАО «Теллур» является высказывание «предприятие А по необходимости принадлежит ЗАО «Теллур». Ослаблением данного высказывания является высказывание «предприятие А, возможно, принадлежит ЗАО «Теллур». Логические термины «необходимо», «возможно», а также «случайно», при помощи которых из ассеторических образуются модальные высказывания, называются модальностями. В современной логике эти термины рассматриваются как операторы, таблица истинности для которых приведена ниже
Примером формальной системы модальной логики может служить исчисление S4 Льюиса, когда интерпретацией этого исчисления является алгебраическая семантика. Исчисление S4 Льюиса является расширением классического исчисления высказываний за счет введения оператора необходимости (□) и определения оператора ◊А как ¬ d ¬ А, а также и добавления трех аксиом к классическому исчислению высказываний:
□ (АВ) (□А□В),
□AA,
□А □ □А,
├A
├□А
Оператор необходимости интерпретируется как топологическая операция взятия внутренности множества. Пусть даны произвольное (непустое) универсальное множество J и множество всех подмножеств этого универсального множества, обозначаемое буквой К.
Будем интерпретировать конъюнкцию и дизъюнкцию как пересечение и объединение множеств, импликацию как объединение дополнения к А в универсальном множестве с множеством В, т.е. АВВ.
Оператор необходимости интерпретируется как топологическая операция взятия внутренности множества J. К формальным семантикам относятся семантики «возможных миров» — окрестные и реляционные. В этих семантиках используются понятия «истина» и «ложь», а необходимость определяется как истинность во всех мирах, возможных относительно некоторого «данного» мира.
Рассмотрим семантику Монтегю—Скотта для модального исчисления LJ. Исчисление LJ является расширением классического исчисления высказываний за счет введения оператора необходимости схемой аксиом
□ (АВ) □А □В и правила вывода
Основным понятием окрестностной семантики является понятие модальной структуры. Модальная структура — это упорядоченное множество этих трех элементов <К, о, R> где К — множество возможных миров,о — некоторый «действительный» мир, R — отношение достижимости между элементами К и подмножествами К.
В семантике LJ отношение R обладает следующим свойством: если из мира d достижимо множество миров В и множество миров С, то из D достижимо множество миров ВС.
Характеризуя семантики возможных миров, можно сказать, что содержащиеся в этих высказываниях утверждения относятся не только к некоторому действительному, актуальному миру, но и к множеству достижимых из него миров, составляющих определенную его окрестность.
Исчисление S5 Льюиса получается из исчисления S4 путем добавления схемы аксиом А□◊А.
Возможный мир Р модальной структуры трактуется как множество фактов и связей между ними, выражаемых законами.
Рис. 7.3. Отношения достижимости
Описание мира можно представить как Г, где— есть классическое описание состояния, а Г — множество упомянутых законов и, возможно, также некоторых их следствий нефактического характера. В S5 справедливы соотношения:
Р◊ Р
◊P□P
□P=◊P
В семантике для S4 отношение R обладает свойствами рефлексивности и транзитивности, т.е. в модальных структурах каждый мир достижим из самого себя, и если из мира S достижим мир t, а из мира t достижим мир к, то из мира S достижим мир к. Возможные миры можно понимать как описание состояний.
Формула □A является истинной в мире S тогда и только тогда, когда она (А) истинна в каждом мире, достижимом из S. Формула истинна в модальной структуре, тогда и только тогда, когда она истинна в отдельном мире этой структуры. Формула является логически истинной, тогда и только тогда, когда она истинна в каждой модальной структуре.
Пусть дана формула:
□p□ □p.
Чтобы решить вопрос о ее логической истинности следует рассмотреть произвольную модальную структуру с отношением R, обладающим свойствами рефлексивности и транзитивности:
□ p истинна в выделенном мире.
р истинна в каждом мире, достижимом из о.
□p истинна в каждом мире, достижимом из о, т.к. миры, достижимые из миров, достижимых из о также достижимы из о, и в них р истинна. Следовательно, □□p истинна в о. Таким образом □p□□p истинна в произвольной модальной структуре.
Семантика исчисления S5 Льюиса
Язык содержит связки , , □ и ◊. □ и ◊ — символы логической необходимости и логической возможности.
Рассмотрим формулу
□ (pq) (□р□q)
и все конечные описания состояний для этой формулы, т.е. ситуации α1={р, q}, α2={ р, }, α 3={,q}, α 4={ ,}
α 2 ={р, } ложна, так как при таких значениях истинности ложна формула (р ) («ложь не может следовать из истины j») и поэтому ложна формула □ (р q). В ситуациях αз={ ,q} и α4={ , } ложна формула р, следовательно ложна и □p, т.к. ложное высказывание не является логически необходимым. Из лжи следует все, что угодно, поэтому формула истинна.
В описании состояния α1 истинными являются формулы р q, р и q. Что можно сказать об истинности формул □ (p q), □p и □q? Возможны следующие варианты:
р и q не могут быть ложными (тавтологии)
р и q могут быть ложными
р может быть ложной
q не может быть ложной
4. р не может быть ложной
q может быть ложной
Таким образом, рассматриваются подстановки: переменным, кроме значений t и f приписываются значения tn — истинно фактически и логически необходимо,
tc — истинно фактически и логически случайно,
fi— ложно фактически и логически невозможно,
fс — ложно фактически и логически случайно.