7.2. Интерпретация выражений языка исчисления предикатов

Установление соответствия между выражениями языка и объектами и отношениями предметной области осуществляется при помощи интерпретации. Необходимо выбрать некоторую предметную область U, на которой следует указать оценки значений констант, функциональных и предикатных символов. Другими словами, интерпретация I на U есть функция, сопостав­ляющая индивидной константе а элемент множества U, т.е. I(a) = U, каждому n-местному функциональному символу f_i ставим в соответствие отображе­ние из Uⁿ в U, I(f_i)=Uⁿ U; каждому n-местному предикатному символу подмножество_n n-кортежей, т.е. некоторый элемент из множества всех под­множеств Uⁿ, т.е. I(P_iⁿ)=Uⁿ2^u.

Наличие соответствующих объектов в предметной области, отвечаю­щих формуле, можно рассматривать как приписывание истинностных значений ее составляющим атомам. Таким образом, если G — данная формула и A₁,A₂…..,A_n — ее атомы, тогда интерпретацией формулы G является приписывание истинностных значений ее атомам, так что каждому из А; приписано значение 1 или 0, но не оба вместе. Если в формуле име­ется п различных атомов, то у этой формулы будет 2ⁿ различных интер­претаций.

Пусть функция (G) приписывает значения истинности всем свободным переменным, входящим в формулу G. Говорят, что формула G истинна или выполняется при приписывании тогда и только тогда, когдаG получает значение 1, обозначаемое также иногда как ┬ («истина») в этом приписывании или при этой интерпретации. В противном случае говорят, что формула G не выполняется при этой интерпретации.

Формула G называется общезначимой, если любая функция выполняет G, т.е. формула, которая является истинной при всех интерпретациях. Примерами общезначимых формул являются формулы (рр), (рр), (р р). Утверждение об общезначимости формулыG записывается в виде ├G, что означает, что G можно рассматривать как следствие из пус­того множества.

Формулу, истинную при всех интерпретациях, называют также тавтологией. Формула противоречива и невыполнима тогда и только тогда, когда она ложна при всех своих интерпретациях. Формула (р р) может служитьпримером невыполнимой формулы. Формула необщезначима тогда и толь­ко тогда, когда существует по крайней мере одна интерпретация, при кото­рой эта формула ложна. Формула непротиворечива тогда и только тогда, когда существует интерпретация, при которой она является истинной. Если формула G ложна при интерпретации , то мы говорим, что опровергает G или что G опровергается в интерпретации . Интерпретация , удовлетво­ряющая формуле G, называется также моделью G.

7.3. Логические выводы в формальной системе исчисления предикатов первого порядка

Вывод с точки зрения логики — это процесс вывода (порождение) правильных заключений из посылок. В более широком смысле это любой вычис­лительный механизм, обеспечивающий применение хранимых знаний к дан­ным и информационным структурам для получения заключения, которое является скорее правдоподобным, чем логически правильным в строгом логическом смысле. Это, разумеется, накладывает ограничения в том смысле, как определить, являются ли заключения разумными и как представить зна­ния относительно того, как тестировать заключения и как оценивать воз­можность.

Правила вывода можно грубо разделить на два класса: правила введения и правила исключения. Например, если все предположения «прибыль мала», «задолженность большая» и «уровень производства падает», то предположение «прибыль мала и задолженность большая, и уровень производства падает» также является истинным. Соответствующее правило исключения гово­рит, что если предыдущее предположение истинное, то истинной является любая из входящих в него посылок.

Если А — формула, то запись ├ А означает, что А — общезначимая формула или тавтология. Если Е — множество формул, то запись Е ├А означает, что формула А является логическим следствием из Е. А является логическим следствием из В, тогда и только тогда, когда импликация (В А) есть тавтология:

В ├ А = (В А).

Формула А логически следует из формулы В тогда и только тогда, когда во всякой возможной реализации U и любой функции приписывания, ес­ли├ В, то ├ А.

Формула А логически следует из множества формул Г тогда и только тогда, когда для всякой возможной реализации U и любой функции приписы­вания , если выполняет в U каждую формулу из Г, то выполняет в Г формулу А. Символически Г├ А.

В логике разработано несколько способов формализации отношения логического следования. Один из них связан с натуральным аксиоматическим или гильбертовским выводом, другой — с генценовским, предложенными соответственно Д. Гильбертом в книге «Основания математической логики» в 1931 году и Г. Генценом в работе «Исследования логических выводов» в 1934 году.

Аксиоматическое исчисление предикатов (PC) или классическое исчис­ление гильбертовского типа включает список формул, принимаемых в каче­стве аксиом, правила вывода и определение понятия вывода.

Логическими аксиомами будут формулы вида:

( ), закон утверждения консеквента (7.1)

(()) () ()), закон самодистрибутивности импликации (7.2)

( ), (7.3)

, закон упрощения; (7.4)

, закон упрощения; (7.5)

( )(( )( )), (7.6)

, закон дополнения; (7.7)

, закон дополнения;

; здесь — константа «ложь»; (7.8)

x F_t (x), здесь F, (x) обозначает результат подстановки термина вместо всех свободных вхождений переменной х в формулу ; (7.9)

F_t (х) (7.10)

(7.11)

(7.12)

правило вывода «модус поненс» или правило отделения, причем здесь принято обозначение, что формула, стоящая под чертой непосредственно выво­дима из формулы, стоящей над чертой; (7.13)

правило резолюции; (7.14)

модус толленс, отрицающий способ рассуждения; (7.15)

правило обобщения. (7.16)

Правило модус поненс порождает выводы следующего вида: если предприятие убыточно, то оно подлежит процедуре сана­ции, "1 Предприятие А О «Изотоп» убыточно