Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплексный метод основан на последовательном переходе от одного опорного плана задачи линейного программирования к другому, при этом значение целевой функции изменяется.

Рассмотрим алгоритм симплексного метода на примере задачи планирования товарооборота.

Коммерческое предприятие реализует “n” товарных групп, располагая “m” ограниченными материально-денежными ресурсами в_i 0 (i= 1, 2, …..m). Известны расходы ресурсов каждого i–го вида на реализацию единицы товара по каждой группе, представленной в виде матрицы А=(а_ij), и прибыль “Cj”, получаемая предприятием от реализации единицы товара “j” группы. Надо определить объем и структуру товарооборота “хj” (j = 1, 2 … n), при которых прибыль коммерческого предприятия была бы максимальной.

Методические рекомендации к решению

Пример 3. Коммерческое предприятие, располагающее производственными ресурсами, реализует три группы товара А, В и С. Плановые нормативы затрат ресурсов на 1 тыс. р. товарооборота, доход от продажи товаров на 1 тыс. р. товарооборота, а также объем ресурсов заданы в таблице.

Показатели	Норма затрат производственных ресурсов на 1 тыс. р. товарооборота			Объем ресурсов (вi)
	группа А	группа В	группа С
Ресурсы первого вида, усл. ед.	0,1	0,2	0,4	1 100
Ресурсы второго вида , усл. ед	0,05	0,02	0,02	120
Ресурсы второго вида , усл. ед	3	1	2	8 000
Доход, ден. ед. (Сj)	3	5	4	mах

Определить плановый объем продажи и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового предприятия был максимальный.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Переменные:

х₁ – количество товаров группы А, ед.

х₂ – количество товаров группы В, ед.

х₃ – количество товаров группы С, ед.

Ограничения:

1. По использованию ресурсов первого вида, усл. ед

0,1х₁+0,2х₂+0,4х₃ 1100

2. По использованию ресурсов второго вида, усл. ед

0,05х₁+0,02х₂+0,02х₃ 120

3. По использованию ресурсов третьего вида, усл. ед

3х₁+х₂+2х₃ 8000

4. Условие не отрицательности переменных

х₁ 0, х₂ 0, х₃ 0.

Максимальное значение целевой функции, ден.ед.

F(х) = 3х₁+5х₂+4х₃ mах

Алгоритм симплексного метода включает следующие этапы:

1.Составление первого опорного плана

Система ограничений задачи, решаемой симплексным методом задана в виде неравенств смысла “ ” , правые части которых в_i 0. Перейдем от системы неравенств к системе уравнений путем введения неотрицательных дополнительных переменных х₄; х₅; х₆; которые образуют базис и называются базисными переменными и определяют объемы неиспользованных ресурсов:

0,1х₁+0,2х₂+0,4х₃ + х₄ = 1100

0,05х₁+0,02х₂+0,02х₃+х₅ = 120

3х₁+х₂+2х₃+х₆ = 8000

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

х₄ = 1100 – (0,1х₁+0,2х₂+0,4х₃)

х₅ = 120 – (0,05х₁+0,02х₂+0,02х₃)

х₆ = 8000 – (3х₁+х₂+3х₃)

Функцию цели запишем в виде уравнения F(х) = 0 – (-3х₁ – 5х₂ – 4х₃). Пологая что основные переменные х₁=0 х₂=0 х₃=0, получим первый опорный план, х₄=в₁; х₅=в₂; х₆=в₃ f(x) =0; который заносим в симплексную таблицу № 1. Она состоит из коэффициентов системы ограничений и свободных членов. Последняя строка таблицы называется индексной и заполняется коэффициентами функции цели, взятыми с противоположным знаком.

Таблица 1

План	Базисные переменные	Свободные члены	Основные переменные.			Дополнительные. переменные.			i
			х1	х2	х3	х4	х5	х6
I	х4	1100	0,1	0,2	0,4	1	0	0	5500
	х5	120	0,05	0,02	0,02	0	1	0	6000
	х6	8000	3	1	2	0	0	1	8000
Индексная строка	f(x)	0	-3	-5	-4	0	0	0