Транспортная задача линейного программирования

Стандартная транспортная задача определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции однородного груза из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Целевая функция представляет собой общие транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом.

Первая группа (1) ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта.

Вторая группа (2) ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворять спрос на продукцию в этом пункте.

Рассмотрим вариант стандартной транспортной задачи

Решение транспортных задач методом потенциалов

Пример3.

С двух складов нужно перевезти однородный груз в три магазина.

На I складе имеется 1800 т груза;

На II складе имеется 2600 т груза.

В магазин № 1 нужно доставить 1000 т;

В магазин № 2 нужно доставить 1200 т;

В магазин № 3 нужно доставить 2200 т.

Таблица - Тариф (стоимость) перевозки 1 т груза, тыс. р.

Склады	магазины
	№1	№2	№3
I	2	2	3
II	3	4	2

Требуется определить такой план перевозок, при котором весь груз будет доставлен в указанных количествах в каждый магазин с минимальными затратами на перевозку.

Обозначим Xij – количество груза, которое необходимо перевезти от i – го поставщика (склада) к j – му потребителю (магазину)

i = 1,2

j = 1,2,3.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Переменные:

X₁₁ – объем груза, перевозимого c I склада в магазин № 1, т;

Х₁₂ - объем груза, перевозимого cо I склада в магазин № 2, т;

Х₁₃ - объем груза, перевозимого c I склада в магазин № 3, т;

Х₂₁ - объем груза, перевозимого cо II склада в магазин № 1, т;

Х₂₂ - объем груза, перевозимого cо II склада в магазин № 2, т;

Х₂₃ - объем груза, перевозимого cо II склада в магазин № 3, т.

Ограничения:

1. по возможности I склада, т х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ = 1800

2. по возможности II склада, т х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ = 2600

3. по потребности магазина № 1, т х₁₁ + х₂₁ = 1000

4. по потребности магазина № 2, т х₁₂ + х₂₂ = 1200

5. по потребности магазина № 3, т х₁₃ + х₂₃ = 2200

Целевая функция

F(x) = 2х₁₁ + 2х₁₂ + 3х₁₃ + 3х₂₁ + 4х₂₂ + 2х₂₃ →min

Решение:

Вначале принимается исходный вариант перевозок, а затем последовательно производится его улучшение до получения оптимального плана.

Для получения исходного плана перевозок используем правило «северо-западного» угла. Расчёт начинается с заполнения левой верхней клеточки и постепенно до нижней правой , т е за счёт ресурсов первого поставщика удовлетворяются потребности первого потребителя. Если они выше, чем потребность первого потребителя, то удовлетворяются потребности второго потребителя, так постепенно распределяются ресурсы всех поставщиков.

При этом количество занятых клеток составит:

m + n – 1 = 2 + 3 – 1 = 4 , где

m – количество поставщиков:

n – количество потребителей.

Первоначальный план представлен в таблице 1.

Таблица 1

Склады	магазины			Запас Qi
	№1	№2	№3
I	2 1000	2 800	3	1800
II	3	4 400	2 2200	2600
Спрос bj	1000	1200	2200	4400=4400

х₁₁ = 1000 т х₂₂ = 400 т

х₁₂ = 800 т х₂₃ = 2200 т

F (x) = 2*1000 + 2*800 + 4*400 + 2*2200 = 9200 т. р.

Исследуется исходный план на оптимальность. По алгоритму решения следует каждую свободную клетку исследовать на оптимальность. Для этого по каждой строке и столбцу определяют потенциалы по формуле:

Ui +Vj = Cij

Vj – потенциал столбца

Ui – потенциал строки

Cij – тариф (показатель) занятой клетки

Для занятых клеток (1.1) (1.2) (2.2) (2.3)

1.1) V₁ + U₁ = 2 V₁ = 2 U₁ = 0

1.2) V₂ + U₁ = 2 V₂ = 2

2.2) V₂ + U₂ = 4 U₂ = 2

2.3) V₃ + U₂ = 2 V₃ = 0

Для свободных клеток (1.3) (2.1) определяется характеристика по формуле

dij= Cij — (Ui+ Vj)

dij – характеристика свободной клетки

Vj – потенциал столбца

Ui – потенциал строки

Cij – тариф свободной клетки

1.3) d_1.3= 3 — (V₃ + U₁) = 3 — (0 — 0) = + 3

2.1) d_2.1= 3 — (V₁ + U₂) = 3 — (2 + 2) = — 1

Отрицательные характеристики - при решении задач на min (положительные при решении задач на max) указывают на то, что транспортные расходы могут быть снижены, т.е. план не opt.

Т.к. d_2.1 = — 1, следовательно план в табл. 1 не оптимальный. План улучшается за счет клетки с отрицательной характеристикой. Если получено несколько отрицательных характеристик, то выбирается клетка имеющая наименьшую отрицательную характеристику ( при решении задач на max наибольшую положительную).

План улучшается за счет клетки с отрицательной характеристикой (кл. 2.1).

Переход от одного опорного плана к другому осуществляют с помощью построения цепи и последовательного перераспределения поставок.

Делается это следующим образом. Из свободной клетки проводится прямая линия до занятой клеточки. В ней делают поворот линии на 90⁰ и ведут до следующей занятой клетки. Снова поворачивают линию на 90⁰ и т. д. Повороты делают до тех пор пока цепь не замкнётся в исходной клетке. При этом следует помнить, что повороты линии делают только в занятых клеточках. Можно проходить без поворота линии как занятые, так и свободные клетки. Вершины цепи обозначаем знаками плюс и минус, начиная с пустой клеточки и чередуя знаки.

Таблица 1.

Склады	магазины			Запас Qi
	№1	№2	№3
I	2 1 - 000	2 8 + 00	3	1800
II	3 +	4 - 400	2 2200	2600
Спрос bj	1000	1200	2200	4400=4400

В цикле кл. 2.1 просматривают объемы в отрицательных вершинах (1000 и 400) и выбирают наименьший (400), производят сдвиг по циклу. Выбранный объем к объемам в положительных вершинах прибавляют, а от объемов в отрицательных вершинах вычитают.

А остальные объёмы переносим из предыдущего плана без изменения. Получим новый план (табл. 2).

Таблица 2.

Склады	Магазины			Запас Qi
	№1	№2	№3
I	2 600	2 1200	3	1800
II	3 400	4	2 2200	2600
Спрос bj	1000	1200	2200	4400

х₁₁ = 600 т х₂₂ = 400 т

х₁₂ = 1200 т х₂₃ = 2200 т

F (x) = 2*600 + 2*1200 + 3*400 + 2*2200 = 9600 тыс. р.

Вычислительный процесс повторяется до получения оптимального плана, т.е. алгоритм повторяется.

Занятые клетки (1.1), (1.2),(2.1),(2.3):

1.1) V₁ + U₁ = 2 V₁ = 2 U₁ = 0

1.2) V₂ + U₁ = 2 V₂ = 2

2.2) V₁ + U₂ = 3 U₂ = 1

2.3) V₃ + U₂ = 2 V₃ = 1

Для свободных клеток (1.2),(2.2).

d_1.3= 3 — (V₃ + U₁) = 3 — (1 — 0) = + 2

d_2.2= 4 — (V₂ + U₂) = 4 — (2 + 1) = + 1

т.к. dij  0, то план во 2 таблице оптимальный.

Анализ оптимального плана

Груз с I склада 1800 т будет доставлен:

600 т в магазин 1

1200 т в магазин 2

а со II склада 2600 т будет доставлен:

400 т в магазин 1

2200 в магазин 3

При этом спрос магазинов будет удовлетворен:

в магазине 1000 т;

в магазине 2 1200 т;

в магазине 3 2200 т.

Затраты на перевозку составят 9200 тыс. р.